Diagonalizzazione con parametri

[Utente121]

Salve ragazzi riposto quì perchè non ho avuto risposte nell'altro topic.
Il problema è questo.
Sia dato l'endomorfismo

A=$((2,1,0,0),(-3,-2,a,b),(0,0,-2,-1),(0,0,5,4))$

Cacolare gli autovalori e stabilire per quali valori di $a,b$ la funzione lineare $Fa$ è diagonalizzabile.

Calcolati gli autovalori che sono rispettivamente $ +1 , -1$ entrambi con molteplicità algebrica uguale a $2$, mi accingo a calcolarne la rispettiva molteplicità geometrica. Per far si che la matrice sia diagonalizzabile devo verificare che la dimensione degli autospazi relativi ad ogni autovalore sia 2 e quindi che ogni autospazio abbia rango 2.

per l'autovalore $1$

$((1,1,0,0),(-3,-3,a,b),(0,0,-3,-1),(0,0,5,3))$

ma mi sono subito accorto che c'è un minore di ordine $3$ diverso da $0$ indipendentemente dai valori assunti da $a,b$

$|((-3,a,b),(0,-3,-1),(0,5,3))|$ = 12

Quindi posso concludere che la funzione non è diagonalizzabile al variare di $a,b$ oppure c'è qualche errore?

[franced]

"Utente12":

A=$((2,1,0,0),(-3,-2,a,b),(0,0,-2,-1),(0,0,5,4))$

Il polinomio caratteristico è indipendente da $a$ e $b$ in quanto la matrice è triangolare a blocchi.

Il polinomio caratteristico si ottiene, infatti, moltiplicando il polinomio caratteristico della matrice $((2,1),(-3,-2))$
per il polinomio caratteristico della matrice $((-2,-1),(5,4))$:

$p(\lambda) = (\lambda^2 - 1) (\lambda^2 - 2 \lambda - 3) = (\lambda + 1)^2 (\lambda - 1) (\lambda - 3)$ .

[franced]

"Utente12":Salve ragazzi riposto quì perchè non ho avuto risposte nell'altro topic.
Il problema è questo.
Sia dato l'endomorfismo

A=$((2,1,0,0),(-3,-2,a,b),(0,0,-2,-1),(0,0,5,4))$

Cacolare gli autovalori e stabilire per quali valori di $a,b$ la funzione lineare $Fa$ è diagonalizzabile.

Calcolati gli autovalori che sono rispettivamente $ +1 , -1$ entrambi con molteplicità algebrica uguale a $2$, ...

Controlla i calcoli.

[Utente121]

Grazie franced non avevo fatto caso all'errore;), ora riesco a trovare i valori di a e di b per cui l'endomorfismo è diagonalizzabile ( la condizione è $a=b$), ma ho un altro dubbio . Per quanto riguarda il calcolo degli autovettori relativi all'autovalore -1.
Devo trovare le soluzioni del sistema omogeneo $A-$$lambda$$ I=0$
cioè

$\{(3x + y = 0),(-3x + y + az + bt = 0),(-z -t = 0),(5z + 5t = 0):}$


Risolvendo trovo $(x,-3x,-t,t)$

ma l'ho provato a far risolvere ad un programma e le soluzioni sono diverse. Non ho fatto caso a qualcos altro?

[franced]

"Utente12":
Devo trovare le soluzioni del sistema omogeneo $A-$$lambda$$ I=0$
cioè

$\{(3x + y = 0),(-3x + y + az + bt = 0),(-z -t = 0),(5z + 5t = 0):}$

Attento:

devi sommare $1$ sulla diagonale;

inoltre devi porre $a=b$.

[franced]

"Utente12":
Risolvendo trovo $(x,-3x,-t,t)$

ma l'ho provato a far risolvere ad un programma e le soluzioni sono diverse. Non ho fatto caso a qualcos altro?

Anche io ho trovato questi risultati, infatti, se $a=b$, l'autospazio relativoa $\lambda=-1$ è generato dai vettori

$((1),(-3),(0),(0))$ e $((0),(0),(-1),(1))$ .

Il programma ti ha presentato la soluzione in modo diverso ma equivalente.