Diagonalizzazione al variare di un parametro

[kiblast]

Devo discutere la diagonalizzabilità di una matrice quadrata al variare di un parametro t.

Devo risolvere questo.

$((t,0,0),(2,3,5),(-2,2,0)) * [(x),(y),(z)]$

EDIT: per sbaglio ho modificato il messaggio cancellandolo, non mi ricordo cosa avevo scritto quindi ho metto un riassunto.

[mistake89]

Beh verifica che il polinomio caratteristico si scomponga dapprima no? Nella parentesi hai $lambda^2-3lambda-10$. Se questo non si scompone hai finito

[kiblast]

le radici sono -2 e 5, quindi $(\lambda+2)*(\lambda-5)$ ora ,anche se non si scomponesse, come dovrei fare x trovare i valori di t per cui la matrice non è diagonalizzabile????

[mistake89]

Tutti i valori di $t$. Perchè il polinomio caratteristico non si scompone, quindi non è verifica la prima condizione.

Ora poiché a noi la prima condizione è verificata, non ti rimane che verificare quando $lambda-t$ eguaglia gli altri autovalori.
Se $t ne -2,t ne 5$ cosa possiamo dire immediatamente?

EDIT: Piccolo errore di segno!

[kiblast]

ke è sicuramente diagonalizzabile, perche la molteplicità agebriva dei 3 autovalori =3...quindi come procedo...è qui che mi blocco...xd

[mistake89]

No. E' diagonalizzabile perchè ciascuno di loro ha m.a.=m.g=1.

Negli altri casi devi valutare $t$. Cioè $t=5$ ottieni $(5-lambda)(lambda-5)(lambda+2)=0$ cioè $5$ ha m.a=2 Pertanto devi valutare quella geometrica.
analogamente se $2$ diventa radice doppia.

[kiblast]

Quindi devo andare a vedere le dimensioni degli autospazi relativi. Piccolo dubbio: l'auto valore lo sostituico nella prima matrice? quella iniziale? e le soluzioni x1 x2 x3 sono i valori del vettettore nell'autospazio giusto? ( ne caso ci sono 2 parametri la dim dell'autospazio deve contenere 2 vettori giusto?)

[mistake89]

Non ho ben capito qual è il tuo dubbio. Poni $t=5$ e sostuitisci a $lambda$ $5$. Moltiplica questa matrice per una colonna $(x,y,z)$ e determina una base dell'autospazio
Fai i conti, postali e li controlliamo insieme nel caso!

[kiblast]

"mistake89":Non ho ben capito qual è il tuo dubbio. Poni $t=5$ e sostuitisci a $lambda$ $5$. Moltiplica questa matrice per una colonna $(x,y,z)$ e determina una base dell'autospazio
Fai i conti, postali e li controlliamo insieme nel caso!

quindi devo risolvere questo?

$((t-5,0,0),(2,3-5,5),(-2,2,-5)) * [(x),(y),(z)]$?

Mi verrebbe un sistema in $x,y,z,t$ che risolvo e trovo un l'autospazio relativo a 5, e da qui deduto la molteplicità geometrica, ma mi resta il parametro t, come mi muovo?

[mistake89]

Ma no, $t$ è fissato e vale $5$.

[kiblast]

"mistake89":Ma no, $t$ è fissato e vale $5$.

e quindi il sistema che devo risolvere è questo?

$((0,0,0),(2,-2,5),(-2,2,-5)) * [(x),(y),(z)]$?

Ma i 2 vettori sono proporzionale per -1 quindi la matrice ha rango 1 e la molteplicità geometrica di 5 è 1 e la matrice non è diagonalizzabile per 5...