Diagonalizzazione
Come verifico se una matrice è diagonalizzabile?
per esempio la matrice:
1 0 0
k 1 k
1 1 k
Per quali valori di k è diagonalizzabile?
Grazie
per esempio la matrice:
1 0 0
k 1 k
1 1 k
Per quali valori di k è diagonalizzabile?
Grazie
Risposte
ti trovi il polinomio caratteristico $p(\lambda)=k\lambda^2 -\lambda k$ e lo studi in base a k
Devi fare un po' di conti, per prima cosa fai $det (A -xI)$ (ovvero calcoli il determinante della matrice sottraendo sulla diagonale x). Ti verrà fuori un polinomio in k e in x, adesso cerchi di scomporlo in prodotto di polinomi e trovi le radici.
per ogni radice (chiamiamo $x_i$ una radice del polinomio) che trovi devi calcolare che il nucleo di (A - $x_i$I) sia uguale alla molteplicità algebrica della radice. Quando OGNI radice ha molteplicità algebrica e geometrica uguali, allora la matrice A è diagonalizzabile, e simile ad una matrice che ha sulla diagonale gli autovalori ripetuti tante volte quante le loro molteplicità algebriche. Un aiuto al calcolo: la molteplicità geometrica è sempre minore di quella algebrica, ed è sempre maggiore di 0, perciò se ti viene un polinomio del tipo
$(3-x) (2-x)(1-x)$ sai già che A è diagonalizzabile, in quando ogni radice del polinomio ha molteplicità algebrica 1, quindi molteplicità geometrica 1.
per ogni radice (chiamiamo $x_i$ una radice del polinomio) che trovi devi calcolare che il nucleo di (A - $x_i$I) sia uguale alla molteplicità algebrica della radice. Quando OGNI radice ha molteplicità algebrica e geometrica uguali, allora la matrice A è diagonalizzabile, e simile ad una matrice che ha sulla diagonale gli autovalori ripetuti tante volte quante le loro molteplicità algebriche. Un aiuto al calcolo: la molteplicità geometrica è sempre minore di quella algebrica, ed è sempre maggiore di 0, perciò se ti viene un polinomio del tipo
$(3-x) (2-x)(1-x)$ sai già che A è diagonalizzabile, in quando ogni radice del polinomio ha molteplicità algebrica 1, quindi molteplicità geometrica 1.
"MissParker":
1 0 0
k 1 k
1 1 k
Per quali valori di k è diagonalizzabile?
Grazie
Tanto per iniziare la seconda e la terza colonna sono proporzionali per ogni $k$.
La matrice è allora singolare, quindi abbiamo di sicuro l'autovalore $0$ per ogni $k$.
"franced":
[quote="MissParker"]
1 0 0
k 1 k
1 1 k
Per quali valori di k è diagonalizzabile?
Grazie
Tanto per iniziare la seconda e la terza colonna sono proporzionali per ogni $k$.
La matrice è allora singolare, quindi abbiamo di sicuro l'autovalore $0$ per ogni $k$.[/quote]
Gli autovalori sono $lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 1$ e $\lambda_3 = 1+k$.
Se $k \ne 0$ e $k \ne -1$ l'endomorfismo è diagonalizzabile perché i tre autovalori sono distinti.
Restano da analizzare i casi $k = 0$ e $k = -1$.
e il caso $k = -1$.
Per il caso $k=0$ la dimensione del nucleo di $A$ è 1, quindi non è diagonalizzabile, per il caso $k=-1$ uguale, quindi è diagonalizzabile per ogni k diverso da 0 e da -1
Per il caso $k=0$ la dimensione del nucleo di $A$ è 1, quindi non è diagonalizzabile, per il caso $k=-1$ uguale, quindi è diagonalizzabile per ogni k diverso da 0 e da -1
Gli autovettori sono
$((0),(k),(-1))$ per l'autovalore $\lambda_1 = 0$
$((1),(k-2),(-1))$ per l'autovalore $\lambda_2 = 1$
$((0),(1),(1))$ per l'autovalore $\lambda_3 = 1+k$
Per $k = 0$ l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Per $k=-1$ non lo è.
$((0),(k),(-1))$ per l'autovalore $\lambda_1 = 0$
$((1),(k-2),(-1))$ per l'autovalore $\lambda_2 = 1$
$((0),(1),(1))$ per l'autovalore $\lambda_3 = 1+k$
Per $k = 0$ l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Per $k=-1$ non lo è.
"Zkeggia":
e il caso $k = -1$.
Per il caso $k=0$ la dimensione del nucleo di $A$ è 1, quindi non è diagonalizzabile, per il caso $k=-1$ uguale, quindi è diagonalizzabile per ogni k diverso da 0 e da -1
Per $k=0$ la matrice diventa:
$((1,0,0),(0,1,0),(1,1,0))$
è diagonalizzabile perché
$((1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)) ((0),(0),(1)) = ((0),(0),(0))$
$((1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)) ((0),(1),(1)) = ((0),(1),(1))$
$((1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)) ((1),(-1),(0)) = ((1),(-1),(0))$
(si osservi che i tre vettori presi in considerazione sono lin. indipendenti).
allora il polinomio caratteristico è:
$(x+1)(x)(x+1+k)$
se $k\ne 0, k \ne -1$ diagonalizzabile (autovalori semplici).
se $k=0$ allora $dim ker (A-I) = 2$, diagonalizzabile.
se $k =-1$ allora $dim ker (A ) = 1$, non diagonalizzabile.
$(x+1)(x)(x+1+k)$
se $k\ne 0, k \ne -1$ diagonalizzabile (autovalori semplici).
se $k=0$ allora $dim ker (A-I) = 2$, diagonalizzabile.
se $k =-1$ allora $dim ker (A ) = 1$, non diagonalizzabile.
"Zkeggia":
se $k\ne 0, k \ne -1$ diagonalizzabile (autovalori semplici).
se $k=0$ allora $dim ker (A-I) = 2$, diagonalizzabile.
se $k =-1$ allora $dim ker (A ) = 1$, non diagonalizzabile.
Ok, ora siamo d'accordo!
La forma di Jordan per $k=-1$ è
$J = ((0,1,0),(0,0,0),(0,0,1))$
@Franced: Perfetto! =).
@Miss Parker: Qualche dubbio su quello che abbiamo fatto?
@Miss Parker: Qualche dubbio su quello che abbiamo fatto?
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