Diagonalizzare una matrice con parametro e autovalore noto
Ciao a tutti, vi espongo un esercizio che non riesco a risolvere.
Sia data la seguente matrice A.
$$ A= \begin{bmatrix}
3-t & 0 & 2t-4 \\
3-2t & t & 2t-4 \\
1-t & 1 & 2t-3
\end{bmatrix} $$
Determinare la diagonalizzabilità di A al variare del parametro t, sapendo che ammette un autovalore 1.
Ho pensato quindi di cercare le soluzioni del polinomio caratteristico $P(\lambda) = det|A-\lambdaI|$ solo che non riesco a venirne a capo, qualsiasi riga, colonna scelga per determinare il determinante. Talvolta mi esce $\lambda^3$ altre volte $t^3$ e quindi non so come proseguire!
Qualcuno che mi aiuti?
Sia data la seguente matrice A.
$$ A= \begin{bmatrix}
3-t & 0 & 2t-4 \\
3-2t & t & 2t-4 \\
1-t & 1 & 2t-3
\end{bmatrix} $$
Determinare la diagonalizzabilità di A al variare del parametro t, sapendo che ammette un autovalore 1.
Ho pensato quindi di cercare le soluzioni del polinomio caratteristico $P(\lambda) = det|A-\lambdaI|$ solo che non riesco a venirne a capo, qualsiasi riga, colonna scelga per determinare il determinante. Talvolta mi esce $\lambda^3$ altre volte $t^3$ e quindi non so come proseguire!
Qualcuno che mi aiuti?
Risposte
Ciao,
il fatto di sapere che un autovalore è $1$ ti dice che il polinomio caratteristico è divisibile per $lambda-1$. Sfruttando questa informazione arrivi alla seguente scrittura $$P\left(\lambda\right) = -\left( \lambda-1\right) \,\left( t-\lambda-1\right) \,\left( t-\lambda\right) $$
il fatto di sapere che un autovalore è $1$ ti dice che il polinomio caratteristico è divisibile per $lambda-1$. Sfruttando questa informazione arrivi alla seguente scrittura $$P\left(\lambda\right) = -\left( \lambda-1\right) \,\left( t-\lambda-1\right) \,\left( t-\lambda\right) $$
"minomic":
Ciao,
il fatto di sapere che un autovalore è $1$ ti dice che il polinomio caratteristico è divisibile per $lambda-1$. Sfruttando questa informazione arrivi alla seguente scrittura $$P\left(\lambda\right) = -\left( \lambda-1\right) \,\left( t-\lambda-1\right) \,\left( t-\lambda\right) $$
Grazie per la risposta, ma non ho capito da dove ricavi il polinomio caratteristico. Io sapevo che corrisponde ad eguagliare il determinante di $A-\lambdaI$ a 0... Una volta che mi viene data una radice del polinomio in questione, come mi devo comportare per ottenere il polinomio stesso? Non devo applicare $-\lambda$ sulla diagonale?
Sì certo, scrivi il polinomio minimo in quel modo, poi sfrutti l'informazione data (un autovalore uguale a $1$) per fattorizzarlo. In questo modo vedi immediatamente che i tre autovalori sono $$\lambda = 1,\ t-1,\ t$$
Sono comunque bloccato...
Una volta trovata la matrice $A-\lambdaI$ ottengo il polinomio caratteristico $P(\lambda) = det(A-\lambdaI)=0$, scegliendo di operare con la seconda colonna, ottengo questo:
$det(A-\lambdaI) = (t-\lambda)(3-t-\lambda)(2t-3-\lambda)+(2t-4)(t+1)(t-\lambda)-(3-t-\lambda)(2t-4)+(2t-4)(3-2t)$.
Ora visto che mi è stata data la soluzione $\lambda=1$, cioè $(\lambda - 1) = 0$, come mi devo comportare? Questo non mi è chiaro. Ho perso un sacco di tempo a sviluppare tutti prodotti ma non ne sono venuto a capo
Una volta trovata la matrice $A-\lambdaI$ ottengo il polinomio caratteristico $P(\lambda) = det(A-\lambdaI)=0$, scegliendo di operare con la seconda colonna, ottengo questo:
$det(A-\lambdaI) = (t-\lambda)(3-t-\lambda)(2t-3-\lambda)+(2t-4)(t+1)(t-\lambda)-(3-t-\lambda)(2t-4)+(2t-4)(3-2t)$.
Ora visto che mi è stata data la soluzione $\lambda=1$, cioè $(\lambda - 1) = 0$, come mi devo comportare? Questo non mi è chiaro. Ho perso un sacco di tempo a sviluppare tutti prodotti ma non ne sono venuto a capo
Scrivilo come $$\Box\lambda^3 + \Box \lambda^2 + \Box \lambda + \Box$$ e poi dividilo per $lambda - 1$. In questo modo avrai il polinomio caratteristico nella forma $$\left(\lambda-1\right)\left(\Box\lambda^2+\Box\lambda+\Box\right)$$ che si fattorizza facilmente. 
"minomic":
Scrivilo come $$\Box\lambda^3 + \Box \lambda^2 + \Box \lambda + \Box$$ e poi dividilo per $lambda - 1$.
Grazie mille.
Il grado è $3$ perché essendo una matrice 3x3 mi aspetto che gli autovalori siano 3 giusto?
Sì, esatto. Non è però detto che siano distinti. Infatti quando hai ottenuto che gli autovalori sono $$\lambda = 1,\ t-1,\ t$$ devi poi procedere con lo studio sulla diagonalizzabilità: se sono tre autovalori distinti allora la matrice è diagonalizzabile. Altrimenti uno dei tre ha molteplicità algebrica superiore a $1$ e ne dovrai valutare la molteplicità geometrica.
"minomic":
Sì, esatto. Non è però detto che siano distinti. Infatti quando hai ottenuto che gli autovalori sono $$\lambda = 1,\ t-1,\ t$$ devi poi procedere con lo studio sulla diagonalizzabilità: se sono tre autovalori distinti allora la matrice è diagonalizzabile. Altrimenti uno dei tre ha molteplicità algebrica superiore a $1$ e ne dovrai valutare la molteplicità geometrica.
Grazie per la conferma, gentilissimo.
Il punto è che io dovevo comunque sviluppare quei prodotti, e poi scriverlo in quella forma sfruttando la radice data. Non pensavo di operare in quella maniera
Ho svolto tutti i prodotti e ho ottenuto
$P(\lambda) = \lambda^3 -4\lambda^2t+\lambdat+3\lambdat^2-5\lambda - t^2 - 4t$
Cioè $\lambda^3 -4\lambda^2t+\lambda(t+3t^2-5)-(t^2+4t)=0$
Così, sono alla forma $A\lambda^3 + B\lambda^2 + C\lambda + D = 0$.
Ora, visto che so che $\lambda = 1$, ottengo $\lambda -1 = 0$, e quindi posso riscrivere il tutto nella forma
$(\lambda-1)(A\lambda^2 + B\lambda + C)=0$, con
$A=-4t$
$B=3t^2+t-5$
$C=-t^2-4t$
A parte eventuali errori di calcolo (non so se B sia corretto), che eventualmente correggerò, è giusto se risolvo applicando la regola delle equazioni di secondo grado il polinomio ottenuto, ottenendo così i nuovi $\lambda$? E poi, se il coefficiente di $\lambda^3$ fosse stato diverso da $1$, avrei potuto comunque applicare questo ragionamento?
$P(\lambda) = \lambda^3 -4\lambda^2t+\lambdat+3\lambdat^2-5\lambda - t^2 - 4t$
Cioè $\lambda^3 -4\lambda^2t+\lambda(t+3t^2-5)-(t^2+4t)=0$
Così, sono alla forma $A\lambda^3 + B\lambda^2 + C\lambda + D = 0$.
Ora, visto che so che $\lambda = 1$, ottengo $\lambda -1 = 0$, e quindi posso riscrivere il tutto nella forma
$(\lambda-1)(A\lambda^2 + B\lambda + C)=0$, con
$A=-4t$
$B=3t^2+t-5$
$C=-t^2-4t$
A parte eventuali errori di calcolo (non so se B sia corretto), che eventualmente correggerò, è giusto se risolvo applicando la regola delle equazioni di secondo grado il polinomio ottenuto, ottenendo così i nuovi $\lambda$? E poi, se il coefficiente di $\lambda^3$ fosse stato diverso da $1$, avrei potuto comunque applicare questo ragionamento?
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