Diagonalizzare matrice
Salve a tutti!!!
Sto preparando l'esame di analisi dei sistemi dinamici e non mi é chiaro un argomento inerente algebra lineare ed in particolare quando una matrice é diagonalizzabile.
Allora quello che so io é che esiste il teorema di diagonalizzabilità che afferma quanto segue:una matrice quadrata A è diagonalizzabile in un campo K se e solo se valgono le seguenti condizioni:
a)il numero degli autovalori di A appartenenti al campo K e contati con la loro molteplicità è pari all'ordine della matrice;
b)la molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica.
Sto svolgendo un esercizio in cui ottengo un unico autovalore avente molteplicità algebrica 2 ed molteplicità geometrica 1;pertanto posso concludere che la mia matrice dell'esercizi non é diagonalizzabile,giusto?
COme si arriva la discorso di poter portare(scrivere) una matric nella forma canonica di jordan?
In questo caso siccome la matrice non è diagonalizzabile la posso portare in forma canocnica di jordan?E se invece una matrice è comunque diagonalizzabile la posso portare lo stesso in forma di jordan(credo che otterrrei una pura forma diagonale...)?
Riporto la matrice di cui sopra:
$ ( ( 0 , 1 ),( -1 , -2 ) ) $
Sto preparando l'esame di analisi dei sistemi dinamici e non mi é chiaro un argomento inerente algebra lineare ed in particolare quando una matrice é diagonalizzabile.
Allora quello che so io é che esiste il teorema di diagonalizzabilità che afferma quanto segue:una matrice quadrata A è diagonalizzabile in un campo K se e solo se valgono le seguenti condizioni:
a)il numero degli autovalori di A appartenenti al campo K e contati con la loro molteplicità è pari all'ordine della matrice;
b)la molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica.
Sto svolgendo un esercizio in cui ottengo un unico autovalore avente molteplicità algebrica 2 ed molteplicità geometrica 1;pertanto posso concludere che la mia matrice dell'esercizi non é diagonalizzabile,giusto?
COme si arriva la discorso di poter portare(scrivere) una matric nella forma canonica di jordan?
In questo caso siccome la matrice non è diagonalizzabile la posso portare in forma canocnica di jordan?E se invece una matrice è comunque diagonalizzabile la posso portare lo stesso in forma di jordan(credo che otterrrei una pura forma diagonale...)?
Riporto la matrice di cui sopra:
$ ( ( 0 , 1 ),( -1 , -2 ) ) $
Risposte
Salve!!
Data la seguente matrice
A=$ ( ( 2 , 4 , -3 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 3 , -1 ) ) $
calcolare la matrice esponenziale $e ^(At)$.
Io ho risolto come segue.
Mi sono trovato il polinomio caratteristico che mi ha fornito gli autovalori
$ lambda_1 $=-1 con m.a.=1 e quindi m.g.=1
ed
$\lambda_2$=2 con m.a.=2 e m.g=n-rk $ ( ( 0 , -4 , 3 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -3 , 3 ) ) $ =rk[$\lambda_2I-A$] =3-2=1
La matrice A non è diagonalizzabile perchè non rispetta le condizioni del teorema di diagonalizzabilità.
Passo allora alla sua jordanizzazione(è sempre possibile portare una matrice in forma di jordan...).
gurdando solo agli autovalori con le rispettive molt.algebriche e geometriche so già com'è fatta la matrice in forma di jordan ossia un blocco di ordine 1 per $lambda_1$ ed un blocco di ordine 2 per $lambda_2$.
Però seguo la strada del prof. che richiede di calcolare prima la matrice jordanizzante.
Dunque,trovo una base per l'autospazio generalizzato di ordine 1 (che coincide con l'autospazio ordinario) dell'autovalore $lamda_1$;a tal fine occorre trovare una base dello spazio delle soluzioni del sistema seguente
$[\lambda_1I-A]v=0$ dove I è la matrice identità ed v l'autovettore associato all'autovalore $\lambda_1$
$( ( ( -1 , 0 ,0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $ - $ ( ( 2 , 4 , -3 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 3 , -1 ) ) )\cdot ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = $ ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
che fornisce il sistema
$ { ( -3x-4y+3z=0 ),( -3y=0 ),( -3y=0 ):} $
questo sistema lineare omogeneo ammette $ oo ^(n-rk[A']) $ dove n è l'ordine della matrice ed A' è la matrice dei coefficienti del sistema;risulta $ oo ^(n-rk[A']) $=$ oo^1$ e quindi $ oo ^1$ soluzioni e per determinarle assegno ad n-rk[A']=1 incognita il ruolo di parametro libero e ricavo poi le $oo^1$ soluzioni
$ { ( y=0 ),( x=alpha ),( -3x-4y+3z=0 ):} $
$ { ( x=alpha ),( y=0 ),( z=alpha ):} $
Le $oo^1$ soluzioni sono
$(x,y,z)=(alpha,0,alpha=alpha(1,0,1))$
e quindi l'autovettore associato allautovalore $ \lambda_1 $ risulta
v1= $ ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Passiamo a $\lambda_2$
Data la seguente matrice
A=$ ( ( 2 , 4 , -3 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 3 , -1 ) ) $
calcolare la matrice esponenziale $e ^(At)$.
Io ho risolto come segue.
Mi sono trovato il polinomio caratteristico che mi ha fornito gli autovalori
$ lambda_1 $=-1 con m.a.=1 e quindi m.g.=1
ed
$\lambda_2$=2 con m.a.=2 e m.g=n-rk $ ( ( 0 , -4 , 3 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -3 , 3 ) ) $ =rk[$\lambda_2I-A$] =3-2=1
La matrice A non è diagonalizzabile perchè non rispetta le condizioni del teorema di diagonalizzabilità.
Passo allora alla sua jordanizzazione(è sempre possibile portare una matrice in forma di jordan...).
gurdando solo agli autovalori con le rispettive molt.algebriche e geometriche so già com'è fatta la matrice in forma di jordan ossia un blocco di ordine 1 per $lambda_1$ ed un blocco di ordine 2 per $lambda_2$.
Però seguo la strada del prof. che richiede di calcolare prima la matrice jordanizzante.
Dunque,trovo una base per l'autospazio generalizzato di ordine 1 (che coincide con l'autospazio ordinario) dell'autovalore $lamda_1$;a tal fine occorre trovare una base dello spazio delle soluzioni del sistema seguente
$[\lambda_1I-A]v=0$ dove I è la matrice identità ed v l'autovettore associato all'autovalore $\lambda_1$
$( ( ( -1 , 0 ,0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $ - $ ( ( 2 , 4 , -3 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 3 , -1 ) ) )\cdot ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = $ ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
che fornisce il sistema
$ { ( -3x-4y+3z=0 ),( -3y=0 ),( -3y=0 ):} $
questo sistema lineare omogeneo ammette $ oo ^(n-rk[A']) $ dove n è l'ordine della matrice ed A' è la matrice dei coefficienti del sistema;risulta $ oo ^(n-rk[A']) $=$ oo^1$ e quindi $ oo ^1$ soluzioni e per determinarle assegno ad n-rk[A']=1 incognita il ruolo di parametro libero e ricavo poi le $oo^1$ soluzioni
$ { ( y=0 ),( x=alpha ),( -3x-4y+3z=0 ):} $
$ { ( x=alpha ),( y=0 ),( z=alpha ):} $
Le $oo^1$ soluzioni sono
$(x,y,z)=(alpha,0,alpha=alpha(1,0,1))$
e quindi l'autovettore associato allautovalore $ \lambda_1 $ risulta
v1= $ ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Passiamo a $\lambda_2$
Trovo una base per gli autospazi generalizzati seguenti:
$V_(\lamda_2)^(1)={v in \Re^3 \mbox{t.c} (\lambda_2I-A)\cdotv=0 }$
$V_(\lamda_2)^(2)={v in \Re^3 \mbox{t.c} (\lambda_2I-A)^2\cdotv=0 }$
Domanda:perchè ho solo due autospazi?
Trovo una base rispettivamente per questi due auotospazi.Per quanto riguarda l'autospazio di ordine1:
$(\lamda_2\cdotI-A)\cdotv=0$
$ (( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) )-((2,4,-3),(0,2,0),(0,3,-1)))\cdot((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $
${ ( -4y+3z=0),( -3y+3z=0 ):}$
questo sistema lineare omogeneo ammette $oo^(n-rk[A'])$ soluzioni ossia $oo^(3-2)$;assegno ad (n-rk[A']) incognite il ruolo di parametro libero..
E qui ho un problema in quanto mi ritrovo con un solo grado di libertà (una solo incognita libera) dal conto appena fatto (cioè n-rk[A']) però ho il sistema
$ { ( x=\alpha ),( -4y+3z=0 ),( -3y+3z=0 ):} $
forse sbaglio qualcosa...
Comunque alla fine ottengo come base di questo autospazio
$\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,4/3)$
ossia i due autovettori
$v_2= [ ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ] $
$v_3= [ ( 0 ),( 1),( 4/3 ) ] $
Potete darmi conferma?
$V_(\lamda_2)^(1)={v in \Re^3 \mbox{t.c} (\lambda_2I-A)\cdotv=0 }$
$V_(\lamda_2)^(2)={v in \Re^3 \mbox{t.c} (\lambda_2I-A)^2\cdotv=0 }$
Domanda:perchè ho solo due autospazi?
Trovo una base rispettivamente per questi due auotospazi.Per quanto riguarda l'autospazio di ordine1:
$(\lamda_2\cdotI-A)\cdotv=0$
$ (( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) )-((2,4,-3),(0,2,0),(0,3,-1)))\cdot((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $
${ ( -4y+3z=0),( -3y+3z=0 ):}$
questo sistema lineare omogeneo ammette $oo^(n-rk[A'])$ soluzioni ossia $oo^(3-2)$;assegno ad (n-rk[A']) incognite il ruolo di parametro libero..
E qui ho un problema in quanto mi ritrovo con un solo grado di libertà (una solo incognita libera) dal conto appena fatto (cioè n-rk[A']) però ho il sistema
$ { ( x=\alpha ),( -4y+3z=0 ),( -3y+3z=0 ):} $
forse sbaglio qualcosa...
Comunque alla fine ottengo come base di questo autospazio
$\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,4/3)$
ossia i due autovettori
$v_2= [ ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ] $
$v_3= [ ( 0 ),( 1),( 4/3 ) ] $
Potete darmi conferma?
chiedo scusa ho sbagliato a scrivere,avrei voluto scrivere
$4\div3$
$4\div3$
Controlla il post, le formule tendono ad essere incomprensibili.
Ad ogni modo, quante soluzioni ha un sistema $2 xx 2$ omogeneo con determinate $!=0$?
In particolare, quante soluzioni ha il sistema $\{( -4y+3z=0 ),( -3y+3z=0 ):}$?
Ad ogni modo, quante soluzioni ha un sistema $2 xx 2$ omogeneo con determinate $!=0$?
In particolare, quante soluzioni ha il sistema $\{( -4y+3z=0 ),( -3y+3z=0 ):}$?
Salve!!
Ciao gugo82.
Ma il sistema non è lineare omogeneo a tre incognite in quanto proviene da:
$ (( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) )-((2,4,-3),(0,2,0),(0,3,-1)))\cdot((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $
??
Amette $oo^(n-rk[A'])$ soluzioni e per determinarle assegno ad $n-rk[A']$ incognite il ruolo di parametro libero;in questo caso risulta
$oo^(3-2)=oo^1$ soluzioni essendo $rk[A']=rk((0,-4,3),(0,0,0),(0,-3,3))=2$ il rango della matrice dei coefficienti del sistema di equazioni ed $n=3 $ è l'ordine della matrice.
Assegno ad $n-rk[A']=1$ incognita il ruolo di parametro libero,ad esempio $x=\alpha$ ottenedo
$ { ( x=alpha ),( -4y+3z=0 ),( -3y+3z=0 ):} $
Però ora ottengo una cosa sbagliata in quanto otterrei DUE parametri liberi...
Mah..mi sono perso
Aiuto please!
Ciao gugo82.
Ma il sistema non è lineare omogeneo a tre incognite in quanto proviene da:
$ (( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) )-((2,4,-3),(0,2,0),(0,3,-1)))\cdot((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $
??
Amette $oo^(n-rk[A'])$ soluzioni e per determinarle assegno ad $n-rk[A']$ incognite il ruolo di parametro libero;in questo caso risulta
$oo^(3-2)=oo^1$ soluzioni essendo $rk[A']=rk((0,-4,3),(0,0,0),(0,-3,3))=2$ il rango della matrice dei coefficienti del sistema di equazioni ed $n=3 $ è l'ordine della matrice.
Assegno ad $n-rk[A']=1$ incognita il ruolo di parametro libero,ad esempio $x=\alpha$ ottenedo
$ { ( x=alpha ),( -4y+3z=0 ),( -3y+3z=0 ):} $
Però ora ottengo una cosa sbagliata in quanto otterrei DUE parametri liberi...
Mah..mi sono perso
Aiuto please!
Se ti fossi preso la briga di rispondere alla mia domanda avresti visto il tuo errore. E invece, ...
[xdom="j18eos"]Io vedo che: hai posto domande con \(\displaystyle3\) matrici distinte, ignoro se siano le medesime domande; non hai risposto alle richieste di chiarimento di gugo82, ed all'inizio nemmeno alle mie. Non vedo perché continuare questa discussione, quando non si sta ottenendo nulla di utile.
Chiudo.[/xdom]
Chiudo.[/xdom]
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