Diagonalizzare la matrice

[Emy110]

Ciao a tutti,

ho questo esercizio da risolvere:

- Diagonalizzare la matrice
$A=((2,1,1),(1,2,1),(1,1,2))$
mediante una matrice unitaria. Determinare inoltre il prodotto scalare definito dalla matrice A.

Svolgimento:
- Ho calcolato il polinomio caratteristico di A --> $p(t)= -(t-1)(t^2-5t+4)$
- Ho trovato gli autovalori --> $t_1=t_2=1$ (autovalore doppio) e $t_3=4$ (autovalore semplice)
- Ho trovato gli autovettori --> per t=1 l'autospazio relativo è <(1,-1,0),(1,0,-1)> mentre per t=4 l'autospazio relativo è <(1,1,1)>

...... ora cosa debbo fare?

HELP!!!

[ciampax]

Ora devi scrivere la matrice di coniugio, cioè quella per cui la forma diagonale si ottiene come $P^{-1} A P$, avendo cura, però, di rendere la matrice $P$ unitaria.... anche se sinceramente non ho capito perché dovresti usare matrici complesse visto che qua è tutto reale. Sicura che sia quello il polinomio caratteristico?

[Emy110]

Non devo usare la matrice complessa!
Si il polinomio caratteristico è giusto: $t_1=1 t_2=1 t_3=4$!

[ciampax]

Allora credo che usi il termine unitaria semplicemente per indicare una matrice ortogonale. In pratica: tu sai come si costruisce in generale la matrice $P$? Bé, se lo sai, allora puoi anche fare in modo di renderla ortogonale.... come?

[Emy110]

Ora cosa dovrei fare?

Una volta trovato gli autovalori ed autovettori quindi ho gli autospazi che sono:

<(1,-1,0),(1,0,-1),(1,1,1,)>

dovrei applicare il procedimento di ortogonalizzazione di Gram_Schmidt?

[Emy110]

Il secondo punto va svolto così?

dice: determinare il prodotto scalare definito dalla matrice A.

$2x_1y_1+x_1y_2+x_1y_3+x_2y_1+2x_2y_2+x_2y_3+x_3y_1+x_3y_2+2x_3y_3$

[ciampax]

"Emy":Ora cosa dovrei fare?

Una volta trovato gli autovalori ed autovettori quindi ho gli autospazi che sono:

<(1,-1,0),(1,0,-1),(1,1,1,)>

dovrei applicare il procedimento di ortogonalizzazione di Gram_Schmidt?

Una volta che hai le basi, la matrice $P$ si trova ponendo i vettori precedenti sulle sue colonne (nell'ordine relativo a come disponi gli autovalori lungo la diagonale). Se vuoi che la matrice $P$ sia ortogonale, basta ortogonalizzare la base precedente con GS come dicevi.

Il prodotto scalare è questo

$2(x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3+x_1 y_2+x_1 y_3+x_2 y_3)$

Ricorda che i termini fuori della diagonale vanno sommati tra loro

[Emy110]

Ok quindi procedo come faccio solitamente nel vedere se i vettori sono linearmente indipendenti e calcolo $PAP^1$, in realtà mi sono fatta mille problemi perché mi son trovata di fronte una matrice da diagonalizzare mediante una matrice unitaria quindi non sapevo come si facesse ma in realtà per procedere alla diagonalizzazione faccio sempre il controllo della linearità dei vettori.

Grazie mille per la disponibilità.

[ciampax]

Prego, un piacere.