Diagonalizzare con matrice unitaria
Ciao, scusate se riposto una domanda simile a un altra mia domanda, ma mi sta venendo l esaurimento nervoso per svolgere questo esercizio. Non ho trovato nessun esempio ne sul libro ne su internet 
Diagonalizzare questa matrice tramite trasformazione unitaria
$ ( (2,i) , (-i,2) ) $
Dato che T=T^t (trasposta coniugata) si può fare.
Una volta trovati gli autovalori s=3 v s=1 ho cercato gli autovalori v1_3 (i,1) v v2_1 (-i,1)
Questa matrice che ho trovato non è ortogonale, ma se uso gramsh smith non ne riesco a trovare una ortogonale
$ v1=w1 $
$ v2=v2-((v2w1)/(w1w1)) w1 $
E qua w1w1=0 (non mi è mai capitato un caso simile e non so se nn è ortogonalizzabile o se $ v2=w2 $
Già qua mi sono bloccato
Diagonalizzare questa matrice tramite trasformazione unitaria
$ ( (2,i) , (-i,2) ) $
Dato che T=T^t (trasposta coniugata) si può fare.
Una volta trovati gli autovalori s=3 v s=1 ho cercato gli autovalori v1_3 (i,1) v v2_1 (-i,1)
Questa matrice che ho trovato non è ortogonale, ma se uso gramsh smith non ne riesco a trovare una ortogonale
$ v1=w1 $
$ v2=v2-((v2w1)/(w1w1)) w1 $
E qua w1w1=0 (non mi è mai capitato un caso simile e non so se nn è ortogonalizzabile o se $ v2=w2 $
Già qua mi sono bloccato
Risposte
a me invece la matrice che hai trovato sembra ortogonale, forse hai dimenticato come si definisce il prodotto scalare di vettori complessi 
ti resta solo da normalizzare gli autovettori
ti resta solo da normalizzare gli autovettori
A me non viene ortogonale concettualmente, ma con gramsh smith mi diceva che era gia ortogonale. Se facciamo il prodotto scalare tra quei 2 vettori viene $ -i^2+1 $ cioè 2. 
Ok se li normalizzo mi viene per esmpio il primo valore
$ i/(i^2+1)^1/2 $ e il denominatore mi viene 0
, quindi non posso farlo. Scusate ma non ho mai trattato un caso complesso in queste situazioni , lo sto trattando come fosse un caso reale, ma di sicuro sbaglio qualcosa
Ok se li normalizzo mi viene per esmpio il primo valore
$ i/(i^2+1)^1/2 $ e il denominatore mi viene 0
, quindi non posso farlo. Scusate ma non ho mai trattato un caso complesso in queste situazioni , lo sto trattando come fosse un caso reale, ma di sicuro sbaglio qualcosa
"6x6Casadei":
A me non viene ortogonale concettualmente, ma con gramsh smith mi diceva che era gia ortogonale. Se facciamo il prodotto scalare tra quei 2 vettori viene $ -i^2+1 $ cioè 2.
è proprio qui che sbagli: in campo complesso il prodotto scalare è $<(i,1),(-i,1)>=i^2+1=0$ perchè il secondo vettore deve essere coniugato
Ok fino a qui ci siamo! Ma il normalizzare i vettori non torna comunque, perche se prendo il primo (i,1) e lo normalizzo sotto la radice quadrata mi viene $ i^2+1 $ (pure se lo coniugo viene lo stesso risultato) ed il tutto viene impossibile!
ti mostro i passaggi $||(i,1)||=sqrt(i(-i)+1*1)=sqrt(2)$
ripeto: forse dovresti rivedere come si definiscono norme e prodotti nel caso di vettori complessi, se ti comporti come se fossero reali è ovvio che non ti torna
ripeto: forse dovresti rivedere come si definiscono norme e prodotti nel caso di vettori complessi, se ti comporti come se fossero reali è ovvio che non ti torna
Quindi bisogna fare (autovettore x coniugata autovettore)^(1/2)
ora abbiamo trovato una base ortonormale $ ( ( i/2^(1/2) , -i/2^(1/2)) , (1/2^(1/2) , 1/2^(1/2)) )$
Ora bisogna trovare l inversa e mi sono ribloccato in pratica l'inversa mi viene una matrice che moltiplicata per P mi dà l'identitá, se faccio la trasposta coniugata di P e la moltiplico per P mi viene la stessa cosa. Non riesco a cavarci le gambe in questo esercizio!
ora abbiamo trovato una base ortonormale $ ( ( i/2^(1/2) , -i/2^(1/2)) , (1/2^(1/2) , 1/2^(1/2)) )$
Ora bisogna trovare l inversa e mi sono ribloccato
in pratica l'inversa mi viene una matrice che moltiplicata per P mi dà l'identitá, se faccio la trasposta coniugata di P e la moltiplico per P mi viene la stessa cosa. Non riesco a cavarci le gambe in questo esercizio!
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