Diagonalizzabilità matrice e base di autovettori
devo studiare la diagonalizzablità deel seguente endomorfismo:
f(x,y,z,t)= (4x+y, 9x+4y, 2z+t, z+2t)
Allora mi so calcolato gli autovalori.. e mi esce:
λ=7
λ=3
λ=1(molteplicità 2)
Per vedere che sia diagonalizzabile mi sono calcolat con λ=1 e mi esce una matrice con det=2 e quindi mi trovo che è diagonalizzabile.
λ=7 e λ=3 è nitule verificarle o devo farlo???
Poi mi chiede i determinare gli autovalori di f (sono 1-3-7 giusto?) e una base di autovettori dei relativi autospazi.
Per la base trovo un pò di difficoltà, come devo fare??
Poi ho un altro problema uguale.. stavolta l'endomorfismo è:
f(x,y,z,t)= (x+2y, 3y, 2y+z, 2z+3t)
In questo caso mi trovo come autovalore λ=3 e λ=1 entrambi con molteplicità 2..
Però quando sostituisco λ=3 mi trovo che on è diagonalizzabile.. Giusto? E devo comunque trovare una base di autovettori anche se non è diagonalizzabile?? Anche qui ho difficoltà, però se mi spiegate una volta il procedimento credo di riuscirci da solo.
f(x,y,z,t)= (4x+y, 9x+4y, 2z+t, z+2t)
Allora mi so calcolato gli autovalori.. e mi esce:
λ=7
λ=3
λ=1(molteplicità 2)
Per vedere che sia diagonalizzabile mi sono calcolat con λ=1 e mi esce una matrice con det=2 e quindi mi trovo che è diagonalizzabile.
λ=7 e λ=3 è nitule verificarle o devo farlo???
Poi mi chiede i determinare gli autovalori di f (sono 1-3-7 giusto?) e una base di autovettori dei relativi autospazi.
Per la base trovo un pò di difficoltà, come devo fare??
Poi ho un altro problema uguale.. stavolta l'endomorfismo è:
f(x,y,z,t)= (x+2y, 3y, 2y+z, 2z+3t)
In questo caso mi trovo come autovalore λ=3 e λ=1 entrambi con molteplicità 2..
Però quando sostituisco λ=3 mi trovo che on è diagonalizzabile.. Giusto? E devo comunque trovare una base di autovettori anche se non è diagonalizzabile?? Anche qui ho difficoltà, però se mi spiegate una volta il procedimento credo di riuscirci da solo.
Risposte
Metti il simbolo del dollaro ad inizio e fine relazione, così non si comprendono bene.
Per trovare le autobasi devi effettuare il seguente prodotto: $(A-\lambdaI)(x, y, z)= (0,0,0)$
Non riesco a metterlo, ma il vettore $(x,y,z)$ e $(0,0,0)$ sono vettori colonna. A è la matrice associata all'endomorfismo. E lambda cambia ovviamente da autovettore ad autovettore. Se hai 3 autovalori devi trovare 3 autobasi. Dopo di che trovi così l'autobase e per l'autovettore basta individuare un vettore della tua autobase
Per trovare le autobasi devi effettuare il seguente prodotto: $(A-\lambdaI)(x, y, z)= (0,0,0)$
Non riesco a metterlo, ma il vettore $(x,y,z)$ e $(0,0,0)$ sono vettori colonna. A è la matrice associata all'endomorfismo. E lambda cambia ovviamente da autovettore ad autovettore. Se hai 3 autovalori devi trovare 3 autobasi. Dopo di che trovi così l'autobase e per l'autovettore basta individuare un vettore della tua autobase
Se non è diagonalizzabile non ha senso trovare l'autobase e gli autovettori
"Vicia":
Per trovare le autobasi devi effettuare il seguente prodotto: (A−λI)(x,y,z)=(0,0,0)
in questo modo calcoli l'autospazio che per sua definizione contiene gli autovettori relativi ad un certo autovalore.
a questo punto la base di autovettori è data dall'insieme costituito da tutti i tuoi autovettori.
per il dubbio..
"JoeBlack22":
λ=7 e λ=3 è nitule verificarle o devo farlo???
se la molteplicità algebrica dell'autovalore è 1 allora è automatico che sia uguale a quella geometrica, vale infatti la catena di disuguaglianze: $1<= m_g <= m_a$
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