Diagonalizzabilità matrice con discussione paramentro
Salve a tutti,
Devo discutere la diagonalizzabilità di una matrice in base al parametro $ ain R $
la matrice è $ A=( ( a , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 5 ),( 0 , 0 , -a ) ) $
Ho trovato i tre autovalori che sono t=a; t=-a e t=1
Se a è diverso da 0,1, -1 la benedetta matrice è diagonalizzabile. I miei problemi cominciano proprio qui: perchè, facendo la discussione con a=0 la matrice non è diagonalizzabile? Poi, non ho capito per quale ragione la prof abbia tirato in ballo il rango della matrice per discutere la diagonalizzabilità. Grazie mille a tutti, spero di essere stata abbastanza chiara
Devo discutere la diagonalizzabilità di una matrice in base al parametro $ ain R $
la matrice è $ A=( ( a , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 5 ),( 0 , 0 , -a ) ) $
Ho trovato i tre autovalori che sono t=a; t=-a e t=1
Se a è diverso da 0,1, -1 la benedetta matrice è diagonalizzabile. I miei problemi cominciano proprio qui: perchè, facendo la discussione con a=0 la matrice non è diagonalizzabile? Poi, non ho capito per quale ragione la prof abbia tirato in ballo il rango della matrice per discutere la diagonalizzabilità. Grazie mille a tutti, spero di essere stata abbastanza chiara
Risposte
Se $a=0$ gli autovalori sono $lambda_1=0$ con molteplicità algebrica $2$ e $lambda_2=1$ con moteplicità algebrica (e geometrica) $1$.
Bisogna verificare che la molteplicità geometrica di $lambda_1$ sia $2$, perchè se non lo fosse la matrice non sarebbe diagonalizzabile. Sai come si trova la molteplicità geometrica?
Bisogna verificare che la molteplicità geometrica di $lambda_1$ sia $2$, perchè se non lo fosse la matrice non sarebbe diagonalizzabile. Sai come si trova la molteplicità geometrica?
Ho cercato di capire ma senza risultati, potresti gentilmente dirmi come fare per trovare la molteplicità geometrica?
Ho riletto meglio i miei appunti, ed ho finalmente capito! Grazie mille della risposta, mi ha aiutato a fare chiarezza!
Bene, mi fa piacere 
Ora potresti scrivere la risposta?
Ora potresti scrivere la risposta?
Ciao scusa se rispondo solo ora,
se $ a=0 $ gli autovalori sono $ lambda=0 $ con molteplicità algbrica 2 e $ lambda=1 $ con molteplicità algebrica ( e quindi anche geometrica ) uguale a 1 . Per verificare che anche la molteplicità geometrica sia uguale a 2 ho applicato la forma $ m(g)= n-Rk[A-lambda I] $ da cui mi risulta che la molteplicità geometrica è 1 e quindi la matrice per $ a=0 $ non è diagonalizzabile.
Invece, seguendo lo stesso procedimento per $ a=1 $ ho trovato che $ m(a)=m(g)=2 $ e quindi la matrice è sicuramente diagonalizzabile per il teorema di diagonalizzabilità
( tutto ciò sempre se non ho sbagliato calcoli!)
se $ a=0 $ gli autovalori sono $ lambda=0 $ con molteplicità algbrica 2 e $ lambda=1 $ con molteplicità algebrica ( e quindi anche geometrica ) uguale a 1 . Per verificare che anche la molteplicità geometrica sia uguale a 2 ho applicato la forma $ m(g)= n-Rk[A-lambda I] $ da cui mi risulta che la molteplicità geometrica è 1 e quindi la matrice per $ a=0 $ non è diagonalizzabile.
Invece, seguendo lo stesso procedimento per $ a=1 $ ho trovato che $ m(a)=m(g)=2 $ e quindi la matrice è sicuramente diagonalizzabile per il teorema di diagonalizzabilità
( tutto ciò sempre se non ho sbagliato calcoli!)
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