Diagonalizzabilità e basi di R4
salve a tutti ho un altro dubbio su un problema di algebra lineare
data la matrice A= $[[1,1,0,0],[1,1,0,0],[2,2,2,2],[2,2,1,1]]$
per trovare se è diagonalizzabile basta che verifico se per ogni suo autovalore ( 0, 2, 3, sono se nn mi sbaglio) la molteplicità algebrica e geometrica coincidono, giusto??
ma quando mi si chiede
"si determini se possibile una base di autovettori di R4 di A"
"si determini se possibile una base ortonormale di r4 di autovettori di A" come devo comportarmi??
è vero che una base dello spazio vettoriale r4 ha solamente ed esclusivamente 4 vettori??
data la matrice A= $[[1,1,0,0],[1,1,0,0],[2,2,2,2],[2,2,1,1]]$
per trovare se è diagonalizzabile basta che verifico se per ogni suo autovalore ( 0, 2, 3, sono se nn mi sbaglio) la molteplicità algebrica e geometrica coincidono, giusto??
ma quando mi si chiede
"si determini se possibile una base di autovettori di R4 di A"
"si determini se possibile una base ortonormale di r4 di autovettori di A" come devo comportarmi??
è vero che una base dello spazio vettoriale r4 ha solamente ed esclusivamente 4 vettori??
Risposte
Ciao,
sì, devono coincidere le due molteplicità.
Per quanto riguarda il primo quesito devi sostituire i tre autovalori $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ da te trovati nella matrice $A-\lambdaI$ e risolvere il sistema omogeneo ad essa associata in tutti e tre i casi. Le soluzioni di questi tre sistemi saranno i tuoi autovettori.
Per quanto riguarda il secondo quesito devi verificare che gli autovettori trovati sono a due a due ortogonali (cioè il loro prodotto scalare deve essere nullo) dopodichè dividi ogni autovettore per la sua norma; così hai trovato anche la base ortonormale richiesta.
Inoltre, la risposta alla tua ultima domanda è sì.
Ciao!!!
sì, devono coincidere le due molteplicità.
Per quanto riguarda il primo quesito devi sostituire i tre autovalori $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ da te trovati nella matrice $A-\lambdaI$ e risolvere il sistema omogeneo ad essa associata in tutti e tre i casi. Le soluzioni di questi tre sistemi saranno i tuoi autovettori.
Per quanto riguarda il secondo quesito devi verificare che gli autovettori trovati sono a due a due ortogonali (cioè il loro prodotto scalare deve essere nullo) dopodichè dividi ogni autovettore per la sua norma; così hai trovato anche la base ortonormale richiesta.
Inoltre, la risposta alla tua ultima domanda è sì.
Ciao!!!
grazie mille pigi, sei stato kiarissimo!! mi rendo conto che se facevo giusto la seconda parte e nn facevo una cavolata potevo passare l esame.... grazie
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