Diagonalizzabilità di una matrice. Trovare "P"

[dagg3r]

TESTO
Si consideri la matrice:

$A=$$[[1,0,1],[1,0,1],[1,0,1]]$

i) Calcolare gli autovalori di A e, per ciascuno di essi, determinare molteplicità algebrica e geometrica.
ii) Determinare, se possibile, P$epsilon M_3 (RR)$ tale che $P^-1 * A * P $ sia una matrice diagonale

SVOLGIMENTO E BLOCCO
Risolvendo il punto i) ottengo che:
-il polinomio caratteristico è: $P(lambda)= -lambda^2 (lambda - 2)$
-$ lambda_1 = 0 $ , $ m_a ( lambda_1 ) = 2 $ e $ lambda_2 = 2 $ , $ m_a ( lambda_2 ) = 1 = m_g$$(lambda_2)$ .
Poi, $m_g$ $(lambda_1) = 3 - rho (A) = 2$

DOMANDA
Come posso fare per trovare "P" e, successivamente, imporre che $P^-1 * A * P $ ?

[_prime_number]

Assumendo che $\rho(A)$ indichi il rango di $A$, in generale non è vero che $m_g (\lambda_1)=3-\rho(A)$, bensì $m_g (\lambda_1)=dim(V_{\lambda_1})$ ove $V_{\lambda_1}$ è definito come $(A-\lambda_1 I)\mathbf{x}=0$ ovvero:
$((1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)) ((x),(y),(z))=0\to x+z=0$ dunque la dimensione è $2$. Stesso risultato, ma procedimento diverso. Il tuo non è corretto con ogni autovalore! Lo vedi anche solo considerando $\lambda_2$.
Ora trova una base di autovettori e $P$ sarà questa.

Paola

[dagg3r]

"prime_number":Assumendo che $\rho(A)$ indichi il rango di $A$, in generale non è vero che $m_g (\lambda_1)=3-\rho(A)$

Ovviamente... In questo caso risulta essere uguale in quanto l'autovalore $lambda_1 = 0$ e perciò torneremo alla matrice (A). Grazie per la precisazione

\\\\

Per quanto riguarda il secondo punto, non sono riuscito a trovare risposta da quel link, sorry.
Potresti farmi un esempio più semplice? I'm a true dummies

[_prime_number]

Domanda: sai trovare una base di autovettori?

Cito il link:

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo . Siano $ B$ e $C$ due basi diverse di $V$, e siano $b_1, b_2, ... , bn$ i vettori che compongono la base $B$. Si definisce matrice di cambiamento di base dalla base $B$ alla base $C$ l'unica matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori bi rispetto ai vettori della base $C$.

Nel tuo caso $B=$ base canonica (che immagino fosse quella secondo la quale $A$ era scritta, visto che non ci sono altre specifiche), $C=$base di autovettori.

Paola