Diagonalizzabilità di una matrice (esercizio)
Buonasera a tutti! 
Vorrei farvi vedere un esercizio sulla diagonalizzabilità ed esporvi la mia soluzione per capire se questa è giusta, perché mi sembra convincente ma.... non so... 
Allora l'esercizio è il seguente:
"Discutere al variare dei parametri $ lambda 1,...,lambda 6 in R $ , la diagonalizzabilità della matrice
$ ( ( 0 , lambda1 , lambda2 , lambda3 ),( 0 , 0 , lambda4 , lambda 5 ),( 0 , 0, 0 , lambda 6 ),( 0 , 0, 0 , 0 ) ) in Mat4(R) $
Per i valori dei $ lambda i $ per cui A risulta diagonalizzabile, scrivere una matrice diagonale simile ad A."
Veniamo a noi!
Una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale a quella geometrica. Consideriamo la matrice $ A-mu I $ per calcolare il polinomio caratteristico.. Essendo A una matrice triangolare superiore, anche $ A-mu I $ sarà tale con la diagonale principale interamente composta da $ -mu $. Il determinante di una matrice triangolare è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale perciò il nostro polinomio caratteristico sarà $ mu ^4=0 $ , cioè abbiamo l'autovalore 0 con molteplicità algebrica 4 (ma(0)=4). La molteplicità geometrica è data da n-rank(A-0I), dove rank è il rango e A-0I è la matrice precedente dove abbiamo sostituito l'autovalore zero al posto di $ mu $ (in pratica è la nostra matrice A).
Ora, poiché n=4 e ma(0)=4, segue da mg(0)=4-rank(A-0I) che affinché molteplicità algebrica e geometrica siano uguali il rango della matrice A deve essere zero, cioè A deve essere la matrice nulla e quindi A è diagonalizzabile per $ lambda i=0$ per ogni i=1,...,6.
Aspetto i vostri commenti e/o suggerimenti e correzioni!
Grazie mille!
Vorrei farvi vedere un esercizio sulla diagonalizzabilità ed esporvi la mia soluzione per capire se questa è giusta, perché mi sembra convincente ma.... non so... Allora l'esercizio è il seguente:
"Discutere al variare dei parametri $ lambda 1,...,lambda 6 in R $ , la diagonalizzabilità della matrice
$ ( ( 0 , lambda1 , lambda2 , lambda3 ),( 0 , 0 , lambda4 , lambda 5 ),( 0 , 0, 0 , lambda 6 ),( 0 , 0, 0 , 0 ) ) in Mat4(R) $
Per i valori dei $ lambda i $ per cui A risulta diagonalizzabile, scrivere una matrice diagonale simile ad A."
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Una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale a quella geometrica. Consideriamo la matrice $ A-mu I $ per calcolare il polinomio caratteristico.. Essendo A una matrice triangolare superiore, anche $ A-mu I $ sarà tale con la diagonale principale interamente composta da $ -mu $. Il determinante di una matrice triangolare è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale perciò il nostro polinomio caratteristico sarà $ mu ^4=0 $ , cioè abbiamo l'autovalore 0 con molteplicità algebrica 4 (ma(0)=4). La molteplicità geometrica è data da n-rank(A-0I), dove rank è il rango e A-0I è la matrice precedente dove abbiamo sostituito l'autovalore zero al posto di $ mu $ (in pratica è la nostra matrice A).
Ora, poiché n=4 e ma(0)=4, segue da mg(0)=4-rank(A-0I) che affinché molteplicità algebrica e geometrica siano uguali il rango della matrice A deve essere zero, cioè A deve essere la matrice nulla e quindi A è diagonalizzabile per $ lambda i=0$ per ogni i=1,...,6.
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