Diagonalizzabilità di una matrice

[zio_mangrovia]

Data la matrice $((1,1,2),(-1,-1,-2),(2,2,4))$
la diagonalizzabilità non ha alcune relazione con il fatto che i vettori siano linearmente dipendenti?
Nel senso se i vettori sono linearmente dipendenti è possibile che la matrice sia sia diagonale che non ?

[anto_zoolander]

No. La matrice rappresentativa ti da soltanto una informazione, la seguente.
Se hai un endomorfismo su $V$ con $dimV=n$ allora rispetto a due basi di $V$ fissate avrai una matrice quadrata $A$ di ordine $n$. Per la relazione dimensionale sappiamo che $r(A)+dimKer(A)=dimV$

Dunque posto $r=r(A)$ si ha $dimKer(A)=n-r$
Nota che $Ker(A)=Ker(A-0*I_n)=V_(0)$

Dunque tu sai soltanto che;

se $r(A)=n$ allora il nucleo è banale e quindi l’autospazio relativo all’autovalore $0$ non contiene autovettori non nulli.

se $r(A)=0$ allora $Ker(A)=V$ da cui segue che l’endomorfismo é l’endomorfismo nullo e per tanto ogni tripletta di vettori indipendenti forma una base di autovettori.
Poiché sai che l’endomorfismo è nullo e quindi $P_(A)(lambda)=(-1)^n(lambda)^n$ e si vede subito che $mg(0)=ma(0)=n$

se $r(A)=r: 1
Dunque dall’indipendenza delle colonne della matrice associata ti trovi esattamente quanti autovettori indipendenti relativi all’autovalore $0$ puoi trovare.

nel tuo caso hai che il rango della matrice è uno, pertanto, sicuramente avrai almeno $3-1=2$ autovettori indipendenti relativi all’autovalore zero.

ricapitolando
Se $r(A)=0$ allora $A$ è la matrice nulla, è simile a se stessa che è una matrice diagonale ed è pertanto diagonalizzabile.

Se $r(A)=n$ allora non possiamo dire nulla.

Se $r(A)=r,0
Diciamo che $dimV-dimV_0$ ti da un indice di distanza dall’essere il tuo endomorfismo, l’endomorfismo nullo.

Spero di esserti stato d’aiuto