Diagonalizzabilità di matrici

[Usernamer1]

Buongiorno a tutti,
se ho due matrici A e B simili tra loro (della stessa funzione) A rispetto a una base qualunque e B rispetto alla base canonica, esse essendo simili hanno gli stessi autovalori.

1)Per verificare che B sia diagonalizzabile è sufficiente dimostrare che A sia diagonalizzabile essendo simili?

2)Inoltre avendo A e B gli stessi autovalori mi verrebbe da pensare che abbiano anche gli stessi autovettori, ma dai conti non mi risulta questo. Sbaglio i conti o matrici simili pur avendo uguali autovalori possono avere diversi autovettori?
Grazie a chiunque mi risponda

[dan952]

1) Si, perché se $D=M^{-1}AM$ e $A=N^{-1}BN$ allora $D=M^{-1}(N^{-1}BN)M=(NM)^{-1}BNM$
2) No non hanno gli stessi autovettori, se $x$ è un autovettore rispetto ad un autovalore di $A$ allora possiamo ricarvarci l'autovettore associato allo stesso autovalore per B ed è (vedi sopra) $Nx$.