Diagonalizzabilità con parametro
Si determini per quali valori del parametro l la matrice 3x3 è diagonalizzabile
-2 3k+5 1
-2 K+5 1
1 K-3 0
Il polinomio caratteristico dato dal determinante della matrice e mi viene (-2-x)[(k+5-x)(-x)-(k-3)]-(3k+5)[2x-1]+[-2k+6-(k+5-x)]
Non riesco a trovare gli auto valori di questo polinomio
-2 3k+5 1
-2 K+5 1
1 K-3 0
Il polinomio caratteristico dato dal determinante della matrice e mi viene (-2-x)[(k+5-x)(-x)-(k-3)]-(3k+5)[2x-1]+[-2k+6-(k+5-x)]
Non riesco a trovare gli auto valori di questo polinomio
Risposte
"Nico99":
Si determini per quali valori del parametro l la matrice 3x3 è diagonalizzabile
$A=(( -2, 3k+5 , 1),( -2, K+5, 1),( 1, K-3, 0))$
Il polinomio caratteristico dato dal determinante della matrice e mi viene
$(-2-x)[(k+5-x)(-x)-(k-3)]-(3k+5)[2x-1]+[-2k+6-(k+5-x)]$
Non riesco a trovare gli auto valori di questo polinomio
Affinché sia diagonalizzabile si deve avere che $det(A-xI)=0$, quindi cosa devi cercare?
I valori della x per i quali il polinomio caratteristico si annulla
"Nico99":
I valori della x per i quali il polinomio caratteristico si annulla
No! I valori delle $x$ costituiscono i tuoi autovalori. Occorre determinare se
$EE k in RR : qquad det(A-Ix)=0$
In seguito verificare che $Alg(x_i)=g(x_i), qquad AAi$.
Allora io una volta scritto il polinomio caratteristico devo fare le moltiplicazioni e alla fine vedere se esistono j che annullino il polinomio
Poi però non mi è chiaro l ultima cosa che devo verificare
Poi però non mi è chiaro l ultima cosa che devo verificare
"Nico99":
Allora io una volta scritto il polinomio caratteristico devo fare le moltiplicazioni e alla fine vedere se esistono j che annullino il polinomio
se esistono $k$ che annullino il polinomio; $j$ chi è?
"Nico99":
Poi però non mi è chiaro l ultima cosa che devo verificare
Le molteplicità algebra e geometrica degli autovalori di $f$ devono coincidere, e ciò devi verificarsi per ogni autovalore $x$ di $f$.
Ok ma quando sviluppo il polinomio (faccio le moltiplicazioni) mi viene un polinomio che non riesco ad annullare
Obiettivamente è un esercizio noioso dal punto di vista dei calcoli.
Sei arrivato a $x^3-(k+3)x^2+(3k+2)x-2k=0$ e non sai come risolvere l'equazione.
E qua o si usa il formulazzo (che nessuno ha mai imparato dai tempi di Tartaglia), oppure si cerca ad occhio una soluzione.
In questo caso, siamo "fortunati" perchè si vede ad occhio che per x=1 l'equazione si annulla. Quindi possiamo dividere il polinomio per $(x-1)$ e ottenere resto zero. L'equazione diventa:
$(x-1)(x^2-(k+2)x+2k)=0$
Otterrai che l'equazione caratteristica fornisce sempre 3 autovalori reali $x_1=1$ $x_2=2$ e $x_3=k$
Quando k è diverso da 1 e 2, avrai tre radici reali e distinte e quindi sarà sempre diagonalizzabile.
Resta quindi da vedere cosa accade per $k=1$ e $k=2$
P.S. Quando i conti non sono immediati è facile sbagliare l'equazione caratteristica e magari durante l'esame non te ne accorgi spendendo tempo prezioso tentando di risolverla. Te lo dico perchè la prima volta ho effettivamente sbagliato i conti!...ma li ho "verificati" e me ne sono accorto subito: come? Ho calcolato il determinante della matrice $det(A)=2k$ quindi sapevo che per k=0 dovevo trovare un autovalore pari a zero. Sostituendo k=0, il termine noto dell'equazione sarebbe dovuto scomparire...ma così non è stato e quindi ho rifatto i conti. Talvolta spendere tempo può farlo risparmiare.
P.S.2 Inoltre calcolare il determinante della matrice serve anche a verificare che gli autovalori ottenuti siano corretti perchè il loro prodotto deve essere uguale al determinante. Infatti $1*2*k=2k$
Sei arrivato a $x^3-(k+3)x^2+(3k+2)x-2k=0$ e non sai come risolvere l'equazione.
E qua o si usa il formulazzo (che nessuno ha mai imparato dai tempi di Tartaglia), oppure si cerca ad occhio una soluzione.
In questo caso, siamo "fortunati" perchè si vede ad occhio che per x=1 l'equazione si annulla. Quindi possiamo dividere il polinomio per $(x-1)$ e ottenere resto zero. L'equazione diventa:
$(x-1)(x^2-(k+2)x+2k)=0$
Otterrai che l'equazione caratteristica fornisce sempre 3 autovalori reali $x_1=1$ $x_2=2$ e $x_3=k$
Quando k è diverso da 1 e 2, avrai tre radici reali e distinte e quindi sarà sempre diagonalizzabile.
Resta quindi da vedere cosa accade per $k=1$ e $k=2$
P.S. Quando i conti non sono immediati è facile sbagliare l'equazione caratteristica e magari durante l'esame non te ne accorgi spendendo tempo prezioso tentando di risolverla. Te lo dico perchè la prima volta ho effettivamente sbagliato i conti!...ma li ho "verificati" e me ne sono accorto subito: come? Ho calcolato il determinante della matrice $det(A)=2k$ quindi sapevo che per k=0 dovevo trovare un autovalore pari a zero. Sostituendo k=0, il termine noto dell'equazione sarebbe dovuto scomparire...ma così non è stato e quindi ho rifatto i conti. Talvolta spendere tempo può farlo risparmiare.
P.S.2 Inoltre calcolare il determinante della matrice serve anche a verificare che gli autovalori ottenuti siano corretti perchè il loro prodotto deve essere uguale al determinante. Infatti $1*2*k=2k$
Grazie mille
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