Diagonalizzabilità al variare di un parametro
Ciao a tutti, mi aiutereste con questo esercizio?
Ho un'applicazione lineare così definita:
$ ft(e_1)=4e_1+3e_2+te_3, ft(e_2)=5e_2, ft(e_3)=(t-1)e_1-3e_2+3e_3 $
e, una volta scritta la matrice associata, devo studiarne la diagonalizzabilità al variare di $ t $.
Il problema è che il polinomio caratteristico viene un qualcosa di assurdo, di conseguenza non riesco a calcolare gli autovalori.
L'esercizio tuttavia, ben più ampio, si componeva di altri passaggi precedenti volti forse a farmi arrivare alla soluzione del quesito che vi ho appena proposto in maniera molto più agevole: in particolare, un passaggio precedente richiedeva di determinare gli autovalori con le loro molteplicità algebriche e geometriche quando $ t=2 $; io ho notato che quando $ t=2 $, l'endomorfismo risulta diagonalizzabile. E' forse un indizio?
Ho un'applicazione lineare così definita:
$ ft(e_1)=4e_1+3e_2+te_3, ft(e_2)=5e_2, ft(e_3)=(t-1)e_1-3e_2+3e_3 $
e, una volta scritta la matrice associata, devo studiarne la diagonalizzabilità al variare di $ t $.
Il problema è che il polinomio caratteristico viene un qualcosa di assurdo, di conseguenza non riesco a calcolare gli autovalori.
L'esercizio tuttavia, ben più ampio, si componeva di altri passaggi precedenti volti forse a farmi arrivare alla soluzione del quesito che vi ho appena proposto in maniera molto più agevole: in particolare, un passaggio precedente richiedeva di determinare gli autovalori con le loro molteplicità algebriche e geometriche quando $ t=2 $; io ho notato che quando $ t=2 $, l'endomorfismo risulta diagonalizzabile. E' forse un indizio?
Risposte
Insomma, l'unica cosa che puoi dedurne è che $t=2$ dovrà essere per te un valore accettabile. Qual è il polinomio caratteristico che ti risulta?
A me risulta $ (4-lambda)(15-5lambda-3lambda+lambda^2)+(t-1)(-5t+lambdat) $
Sviluppando sono arrivato a $(lambda-5)(t-lambda+3)(t+lambda-4)=0$
"feddy":
Sviluppando sono arrivato a $(lambda-5)(t-lambda+3)(t+lambda-4)=0$
Sviluppando il polinomio caratteristico che ho trovato?
sì, spero di aver fatto giusto. prova a controllare con wolfram
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