Diagonalizzabilità al variare di un parametro

[floyd1231]

Ciao a tutti, potreste verificare la correttezza di questo esercizio, per favore?
Io ho un'applicazione lineare $ f: R^3->R^3 $ così definita
$ f(e_1)=5e_1+e_2-3e_3, f(e_2)=3e_2+te_3, f(e_3)=e_2+2e_3 $
e devo studiarne la diagonalizzabilità al variare di $ t $.
So come procedere, il problema è che non so se mi trovo con un risultato giusto alla fine.
Ho scritto la matrice associata e ho calcolato gli autovalori ponendo il determinante uguale a 0; questi sono:
$ lambda_1=5, lambda_2=(5+sqrt(4t+1))/2, lambda_3=(5-sqrt(4t+1))/2 $
Per essere diagonalizzabile, devono esserci 3 autovalori distinti; dunque, dopo aver risolto le equazioni, ho studiato i casi in cui $ t=6 $ e $ t=-1/4 $: nel primo caso, l'endomorfismo non risulta diagonalizzabile; per quanto riguarda il secondo, invece, ho un problema: ho provato a calcolare gli autovalori ma, quando trovo il determinante del polinomio caratteristico, tale determinante risulta un po' "arzigogolato".
Mi rendo conto che risolvere l'esercizio passaggio per passaggio qui risulterebbe scomodo, ma vi sarei molto grato se lo risolveste anche solo a mano su un pezzo di carta e poi mi mostraste dove sbaglio. Grazie.

[anonymous_0b37e9]

Scusa ma:

$[t=-1/4] rarr [lambda_1=5] vv [lambda_2=5/2]$

Insomma, non è necessario ricalcolare gli autovalori. Sempre che io abbia compreso il tuo dubbio.

[floyd1231]

"anonymous_0b37e9":Scusa ma:

$[t=-1/4] rarr [lambda_1=5] vv [lambda_2=5/2]$

Insomma, non è necessario ricalcolare gli autovalori. Sempre che io abbia compreso il tuo dubbio.

Cavolo, grazie, avevo fatto tantissimi calcoli inutili! Quindi bastava fare così...
Dunque, ad esempio, quando $ t=1 $ il polinomio caratteristico è $ (5-lambda)(lambda^2-5lambda+25/4) $ e gli autovalori sono $ lambda_1=5 $ e $ lambda_2=5/2 $
Dunque, poiché la molteplicità algebrica di 5 è 1, mentre quella geometrica è 2, l'endomorfismo non risulta diagonalizzabile. E' giusto questo ragionamento?

[mombs]

Sì, il ragionamento è giusto!

[anonymous_0b37e9]

"floyd123":
... quando $[t=1]$ ...

Probabilmente intendevi scrivere $[t=-1/4]$.

"floyd123":
... poiché la molteplicità algebrica di $5$ è $1$, mentre quella geometrica è $2$, l'endomorfismo non risulta diagonalizzabile.

Quest'ultima affermazione è del tutto incomprensibile. Ti ricordo che la molteplicità geometrica di un autovalore, cioè, la dimensione dell'autospazio associato, non può essere maggiore della sua molteplicità algebrica, cioè, l'ordine della soluzione rappresentata dall'autovalore medesimo nel porre il polinomio caratteristico uguale a zero. Riepilogando:

$[t=-1/4] rarr [lambda_1=5] vv [lambda_2=5/2]$

Inoltre, mentre $[lambda_1=5]$ ha molteplicità algebrica uguale a quella geometrica uguale a $1$, $[lambda_2=5/2]$ ha molteplicità algebrica uguale $2$: se la sua molteplicità geometrica è uguale a $1$, l'endomorfismo non è diagonalizzabile; se la sua molteplicità geometrica è uguale a $2$, l'endomorfismo è diagonalizzabile. Insomma, si tratta di determinare se le soluzioni del seguente sistema:

$((5/2,0,0),(1,1/2,1),(-3,-1/4,-1/2))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$

sono $oo^1$ oppure $oo^2$. Poiché è piuttosto evidente che siano $oo^1$, la matrice di cui sopra ha rango $2$, l'endomorfismo non è diagonalizzabile.

[floyd1231]

"anonymous_0b37e9":[quote="floyd123"]
... quando $[t=1]$ ...

Probabilmente intendevi scrivere $[t=-1/4]$.

"floyd123":
... poiché la molteplicità algebrica di $5$ è $1$, mentre quella geometrica è $2$, l'endomorfismo non risulta diagonalizzabile.

Quest'ultima affermazione è del tutto incomprensibile. Ti ricordo che la molteplicità geometrica di un autovalore, cioè, la dimensione dell'autospazio associato, non può essere maggiore della sua molteplicità algebrica, cioè, l'ordine della soluzione rappresentata dall'autovalore medesimo nel porre il polinomio caratteristico uguale a zero. Riepilogando:

$[t=-1/4] rarr [lambda_1=5] vv [lambda_2=5/2]$

Inoltre, mentre $[lambda_1=5]$ ha molteplicità algebrica uguale a quella geometrica uguale a $1$, $[lambda_2=5/2]$ ha molteplicità algebrica uguale $2$: se la sua molteplicità geometrica è uguale a $1$, l'endomorfismo non è diagonalizzabile; se la sua molteplicità geometrica è uguale a $2$, l'endomorfismo è diagonalizzabile. Insomma, si tratta di determinare se le soluzioni del seguente sistema:

$((5/2,0,0),(1,1/2,1),(-3,-1/4,-1/2))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$

sono $oo^1$ oppure $oo^2$. Poiché è piuttosto evidente che siano $oo^1$, la matrice di cui sopra ha rango $2$, l'endomorfismo non è diagonalizzabile.[/quote]

Non so come mi sia uscita quella baggianata sulla molteplicità, la stanchezza forse... perdonami e grazie!