Diagonalizzabile
partendo dall'espressione di $\phi(x,y,z)=(z,z,z)$ l'esercizio mi chiede se è diagonalizzabile
determino gli autovalori da $(1-lambda)lambda^2=0
quindi $\lambda_1=0,lambda_2=1
avendo $\lambda_1$ molteciplità algebrica uguale a 2, ho i due autovettori (0,1,0) e (2,0,0)
da $\lambda_2$ ho l'autovettore (1,1,1)
ora per vedere se è diagonalizzabile devo vedere se questi 3 autovettori possono costituire una base per $\R^3$ e visto che sono linearmente indipendenti tra loro allora posso sostenere che è diagonalizzabile.
Mi dite se ho ragionato bene?cioe se una volta trovati 3qualsiasi autovettori(ce ne sono infiniti giusto?) per vedere se la matrice è diagonalizzabile basta che sono lin. ind. tra loro
determino gli autovalori da $(1-lambda)lambda^2=0
quindi $\lambda_1=0,lambda_2=1
avendo $\lambda_1$ molteciplità algebrica uguale a 2, ho i due autovettori (0,1,0) e (2,0,0)
da $\lambda_2$ ho l'autovettore (1,1,1)
ora per vedere se è diagonalizzabile devo vedere se questi 3 autovettori possono costituire una base per $\R^3$ e visto che sono linearmente indipendenti tra loro allora posso sostenere che è diagonalizzabile.
Mi dite se ho ragionato bene?cioe se una volta trovati 3qualsiasi autovettori(ce ne sono infiniti giusto?) per vedere se la matrice è diagonalizzabile basta che sono lin. ind. tra loro
Risposte
allora un pò d'ordine. Innanzitutto i tuoi autovalori sono giusti e gli autovettori relativi all'autovalore $lambda_1=0$ sono $(1,0,0),(0,1,0)$ mentre quello relativi a $lambda_2=1$ è $(1,1,1)$
da ciò puoi subito dedurre che il tuo endormorfismo è diagonalizzabile...
Ti ricordo che vale il seguente teorema:
$f$ è diagonalizzabile se e solo se 1) $P_f(lambda)$ è interamente scomponibile in $K$ e 2) molteplicità geometria e molteplicità algebrica coincidono
ti invito a dimostrarlo!
Poi è anche vero che i tre autovettori trovati costituiscono una base ed è anche questo un criterio per verificare se $f$ è diagonalizzabile, però tu ne hai usati 2, in contemporanea, che portano allo stesso risultato...
spero di averti chiarito un pò le idee
da ciò puoi subito dedurre che il tuo endormorfismo è diagonalizzabile...
Ti ricordo che vale il seguente teorema:
$f$ è diagonalizzabile se e solo se 1) $P_f(lambda)$ è interamente scomponibile in $K$ e 2) molteplicità geometria e molteplicità algebrica coincidono
ti invito a dimostrarlo!
Poi è anche vero che i tre autovettori trovati costituiscono una base ed è anche questo un criterio per verificare se $f$ è diagonalizzabile, però tu ne hai usati 2, in contemporanea, che portano allo stesso risultato...
spero di averti chiarito un pò le idee
allora,ho due dubbi:
1)gli autovalori perche devono essere per forza quelli che hai scritto?con $\lambda_1=0$ trovo il sistema $\{(z=0),(z=0),(z=0):}$
quindi perchè non posso usare qualsiasi vettore l'importante è che abbia come componente z=0?in base a quale tesi mi dici che devono essere quelli?
anche nel caso $\lambda_2=1$ ho il sistema $\{(z=x),(z=y),(z=z):}$ quindi in pratica x=y=z. Non posso scegliere come autovettore (2,2,2) visto che anch'esso ha le componenti x,y,z uguali?
non so so ho esposto bene il mio primo dubbio...
2)Per quanto riguarda la diagonalizzabilità,la professoressa non ci ha mai parlato di molteciplità algebrica e geometrica..Ci ha spiegato vabbe oltre al fatto che è diagonal. se esiste una base costituita da autovettori anche questo che però non ho ben capito:
dim autospazio=$\k-r(lambdai)
l'endof. è diagonalizzabile se $\k=sum_{i=1}^p(k-r(lambdai))
dove in questo caso visto che k=p=3
1)gli autovalori perche devono essere per forza quelli che hai scritto?con $\lambda_1=0$ trovo il sistema $\{(z=0),(z=0),(z=0):}$
quindi perchè non posso usare qualsiasi vettore l'importante è che abbia come componente z=0?in base a quale tesi mi dici che devono essere quelli?
anche nel caso $\lambda_2=1$ ho il sistema $\{(z=x),(z=y),(z=z):}$ quindi in pratica x=y=z. Non posso scegliere come autovettore (2,2,2) visto che anch'esso ha le componenti x,y,z uguali?
non so so ho esposto bene il mio primo dubbio...
2)Per quanto riguarda la diagonalizzabilità,la professoressa non ci ha mai parlato di molteciplità algebrica e geometrica..Ci ha spiegato vabbe oltre al fatto che è diagonal. se esiste una base costituita da autovettori anche questo che però non ho ben capito:
dim autospazio=$\k-r(lambdai)
l'endof. è diagonalizzabile se $\k=sum_{i=1}^p(k-r(lambdai))
dove in questo caso visto che k=p=3
per quanto riguarda il punto 1)
certo, potresti mettere tutti i vettori che desideri, perchè tanto sono comunque tutti uguali a meno di un fattore di proporzionalità, però, proprio per questo, si preferisce metterli in base canonica!
per quanto riguarda il punto 2)
mi sembra strano che non sappia cosa siano molteplicità algebrica e geometrica (anche perchè sono concetti abbastanza semplici).
La molteplicità algebrica di un autovalore $h(lambda_0)$ è la sua molteplicità algebrica come radice del polinomio caratteristico, mentre la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore $lambda_0$ ovvero $dimV_(lambda_0)$
ed inoltre sussiste la seguente relazione $1<=dimV_(lambda_0)<=h(lambda_0)$
per capire il criterio di diagonalizzabilità da te proposto, non riesco a capire la notazione che hai usato: cosa sarebbe $r(lambda_i)$ e la sommatoria da $1...p$?
e $k$?
certo, potresti mettere tutti i vettori che desideri, perchè tanto sono comunque tutti uguali a meno di un fattore di proporzionalità, però, proprio per questo, si preferisce metterli in base canonica!
per quanto riguarda il punto 2)
mi sembra strano che non sappia cosa siano molteplicità algebrica e geometrica (anche perchè sono concetti abbastanza semplici).
La molteplicità algebrica di un autovalore $h(lambda_0)$ è la sua molteplicità algebrica come radice del polinomio caratteristico, mentre la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore $lambda_0$ ovvero $dimV_(lambda_0)$
ed inoltre sussiste la seguente relazione $1<=dimV_(lambda_0)<=h(lambda_0)$
per capire il criterio di diagonalizzabilità da te proposto, non riesco a capire la notazione che hai usato: cosa sarebbe $r(lambda_i)$ e la sommatoria da $1...p$?
e $k$?
si,ho fatto una ricerca e ho visto che non sono concetti difficili,solo che non ce li ha spiegati e quindi non vorrei risolvere esercizi in un modo in cui non le andrebbero bene..vorrei riuscire a capire come applicare quel criterio per verificare la diagonalizzabilità..
allora,lo scrivo per intero...
$\{lambda_1,...,lambda_p$$\}p<=k
$\A-Ilambda_i=((a_(11)-lambda_i,a_(12),...,a_(1k)),(...,...,...,...),(a_(k1),a_(k2),...,a_(kk)-lambda_i))
dimensione autospazio=$\k-r(lambda_i)
è diagonalizzabile $\iffk=sum_(i=1)^p(k-r(lambda_i))
dove $\r(lambda_i)$è il rango della matrice
allora,lo scrivo per intero...
$\{lambda_1,...,lambda_p$$\}p<=k
$\A-Ilambda_i=((a_(11)-lambda_i,a_(12),...,a_(1k)),(...,...,...,...),(a_(k1),a_(k2),...,a_(kk)-lambda_i))
dimensione autospazio=$\k-r(lambda_i)
è diagonalizzabile $\iffk=sum_(i=1)^p(k-r(lambda_i))
dove $\r(lambda_i)$è il rango della matrice
ahhh scusate ci sono arrivata da sola!!:)
in pratica visto che k=3
ho che$\ K=(k-r(lambda_1))+(k-r(lambda_2))=(3-1)+(3-2)=3
in pratica visto che k=3
ho che$\ K=(k-r(lambda_1))+(k-r(lambda_2))=(3-1)+(3-2)=3
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