Diagonabilizzabilità app. lin. al variare del parametro h
Buona sera!
Devo rispondere al seguente quesito:
"Sia $T_h:V->V$ la trasformazione definita da $T_h(\veci)=\veci+2\vecj+h\veck$, $T_h(\vecj)=\vecj$, $T_h(\veck)=2\vecj+\veck$:"
1)$T_h$ non è diagonalizzabile per ogni h.
2)$T_h$ è diagonalizzabile per ogni h.
3)$T_h$ è diagonalizzabile solo per h>0.
4)$T_h$ è diagonalizzabile solo per h=0.
5)$T_h$ è diagonalizzabile solo per h=0.
$T_h$ per essere diagonalizzabile necessita di una base costituita da soli autovettori riferiti ad essa.
Il che è equivalente a dire che è diagonalizzabile se, supposta n la dimensione di $T_h$, esistono n autovettori linearmente indipendenti.
Siccome vale che se 2 autovettori hanno autovalori associati diversi sono linearmente indipendenti, posso affermare che $T_h$ è diagonalizzabile se e solo se possiede 3 (che dovrebbe essere la sua dimensione) autovalori diversi.
Per prima cosa sono passato alla matrice associata a $T_h$:
$A\equiv[[1,0,0],[2,1,2],[h,0,1]]$
Adesso costruisco la matrice $(A-\lambdaI)$ per calcolare il polinomio caratteristico:
$A-\lambdaI\equiv[[1-\lambda,0,0],[2,1-\lambda,2],[h,0,1-\lambda]]$
$=>P_A(\lambda)=(1-\lambda)(1-\lambda)^2$
Da cui ricavo che si ha un unico autovalore per $T_h$ che è $\lambda=1$, con molteplicità algebrica 3. (e geometrica 1???)
Quindi direi che, indipendentemente dal valore assunto dal parametro h, $T_h$ non è diagonalizzabile.
Per me la risposta giusta è la numero 1.
Le domande sono 2: la molteplicità geometrica dell'autovalore è realmente 1?
Ho risposto correttamente al quesito?
Grazie mille in anticipo a tutti!
Devo rispondere al seguente quesito:
"Sia $T_h:V->V$ la trasformazione definita da $T_h(\veci)=\veci+2\vecj+h\veck$, $T_h(\vecj)=\vecj$, $T_h(\veck)=2\vecj+\veck$:"
1)$T_h$ non è diagonalizzabile per ogni h.
2)$T_h$ è diagonalizzabile per ogni h.
3)$T_h$ è diagonalizzabile solo per h>0.
4)$T_h$ è diagonalizzabile solo per h=0.
5)$T_h$ è diagonalizzabile solo per h=0.
$T_h$ per essere diagonalizzabile necessita di una base costituita da soli autovettori riferiti ad essa.
Il che è equivalente a dire che è diagonalizzabile se, supposta n la dimensione di $T_h$, esistono n autovettori linearmente indipendenti.
Siccome vale che se 2 autovettori hanno autovalori associati diversi sono linearmente indipendenti, posso affermare che $T_h$ è diagonalizzabile se e solo se possiede 3 (che dovrebbe essere la sua dimensione) autovalori diversi.
Per prima cosa sono passato alla matrice associata a $T_h$:
$A\equiv[[1,0,0],[2,1,2],[h,0,1]]$
Adesso costruisco la matrice $(A-\lambdaI)$ per calcolare il polinomio caratteristico:
$A-\lambdaI\equiv[[1-\lambda,0,0],[2,1-\lambda,2],[h,0,1-\lambda]]$
$=>P_A(\lambda)=(1-\lambda)(1-\lambda)^2$
Da cui ricavo che si ha un unico autovalore per $T_h$ che è $\lambda=1$, con molteplicità algebrica 3. (e geometrica 1???)
Quindi direi che, indipendentemente dal valore assunto dal parametro h, $T_h$ non è diagonalizzabile.
Per me la risposta giusta è la numero 1.
Le domande sono 2: la molteplicità geometrica dell'autovalore è realmente 1?
Ho risposto correttamente al quesito?
Grazie mille in anticipo a tutti!
Risposte
Come fai a dire che la molteplicità geometrica è 1 senza aver studiato l'autospazio $V_1$? Ovviamente, non hai risposto correttamente... nel senso che non hai dato una spiegazione del perché dovrebbe essere così (e non è detto che lo sia).
Non ho capito, del fatto riguardo che la molteplicità geometrica sia errata sono d'accordo, ma ho sbagliato anche a dare la risposta?
Non ho detto questo. Però perché sei sicuro che la molteplicità geometrica non sia 3?
P.S.: io le ho calcolate e si ha m.g=1 se $h\ne 0$ e m.g=2 se $h=0$. Tu però non hai dimostrato questo fatto e sei partito in quarta affermando che la risposta esatta è la 1. Come puoi farlo?
P.S.: io le ho calcolate e si ha m.g=1 se $h\ne 0$ e m.g=2 se $h=0$. Tu però non hai dimostrato questo fatto e sei partito in quarta affermando che la risposta esatta è la 1. Come puoi farlo?
Non posso assolutamente,e ne sono pienamente consapevole!
La mia era solo un'ipotesi estremamente infondata, basata solo sul fatto che ogni autovalore ha lo stesso valore.
La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ mi risulta che sia la dimensione dell'autospazio che si può costruire con gli autovettori aventi tale autovalore associato, ma qui stiamo andando ben oltre le mie conoscenza (spero che valga solo per ora
).
Tornando alla risposta principale, direi che è la numero 1 in quanto non ho ottenuto 3 autovalori distinti per $T_h$.
Comunque grazie per il considerevole numero di risposte che mi stai fornendo
La mia era solo un'ipotesi estremamente infondata, basata solo sul fatto che ogni autovalore ha lo stesso valore.
La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ mi risulta che sia la dimensione dell'autospazio che si può costruire con gli autovettori aventi tale autovalore associato, ma qui stiamo andando ben oltre le mie conoscenza (spero che valga solo per ora
).Tornando alla risposta principale, direi che è la numero 1 in quanto non ho ottenuto 3 autovalori distinti per $T_h$.
Comunque grazie per il considerevole numero di risposte che mi stai fornendo
Quello che dici è falso come la falsità che vuole fingere di essere verità. Se così fosse, la matrice identità non sarebbe diagonalizzabile... eppure, stranamente, è già diagonale (e tutti gli autovalori sono pari a $1$!). 
P.S.: se studi gli autovalori, devi sapere come calcolare gli autospazi. Altrimenti è come dire che hai comprato la tuta e le scarpette, ma non hai il pallone per giocare a calcio!
P.S.: se studi gli autovalori, devi sapere come calcolare gli autospazi. Altrimenti è come dire che hai comprato la tuta e le scarpette, ma non hai il pallone per giocare a calcio!
Oioi... mi sta prendendo male...
Sarà meglio dia una riguardatina agli appunti....
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