Determinazione T(x,y) iniettiva o suriettiva

[Simoo1996]

Salve come faccio a risolvere questo esercizio?

Sia T(k) : R^2 --> R^3 definita da T(x,y) = (kx + 4y, x + ky, y). Determinare al variare di k appartenente a R se T è iniettiva o suriettiva.

Grazie

[Vicia]

Ciao
Trovi la matrice associata alla tua applicazione lineare, e studi la matrice al variare di k.
Quali sono le condizioni affinchè un'applicazione lineare sia suriettiva? La dimensione dell'immagine di f deve essere uguale alla dimensione dello spazio di arrivo. Per quanto riguarda l'iniettività, f è iniettiva se la dimensione nel nucleo è zero. Quindi studia la matrice e vedi che ne esce fuori. Dimmi se sono stata chiara

[Simoo1996]

ciao essendo una matrice 2x2 la dimensione che coincide con il rango non può essere maggiore di 3 o sbaglio? quindi non può essere suriettiva o sbaglio?

[Vicia]

La matrice non è una 2x2, ma una 3x2. Hai 3 righe e due colonne, dunque il rango al più può essere 2. Quindi la dimensione dell'immagine sarà al più due, ma essendo lo spazio di arrivo di dimensione tre puoi subito dire che l'applicazione non può essere suriettiva. Per l'iniettività la devi verificare dal variare di k

[Simoo1996]

Giusto hai ragione (svista mia)...grazie mille

[Vicia]

Di nulla

[Simoo1996]

mi potresti dire la formula per il calcolo della dimensione del nucleo?

[Vicia]

In generale puoi trovare il nucleo da :
$ A ((x,y,z)) = ((0,0,0))$ (questo tra parentesi x,yz e il vettore nullo li devi mettere come vettori colonna, non so perchè ma non riesco a inserirli bene )
Dove A è la matrice associata all'omomorfismo, oppure lo puoi vedere studiando il rango della matrice. Se ad esemio il rango è 2 (ti parlo nella tua matrice) la dimensione dell'immagine sarà 2 e dalla relazione delle dimensioni ovvero: $ dimImf + dimKerf=dimV $ puoi trovare la dimensione del nucleo

[Simoo1996]

perfetto grazie