Determinazione rango matrice al variare di un parametro
ciao a tutti!
mi è venuto un dubbio mentre calcolavo il rango di una matrice
allora la matrice in questione è $A=((1,3h,0),(1,-1,-1),(h,1,1),(1,3,0))$
il dubbio mi sorge perchè se prendo in considerazione il minore $M=|(1,3h,0),(1,-1,-1),(h,1,1)|$ mi viene che il rango della matrice è 3 per $h!=-1,0$
mentre se considero invece il minore $M'=|(1,-1,-1),(h,1,1),(1,3,0)|$ mi viene che il rango della matrice è 3 per $h!=-1$
ora la domanda mi sorge spontanea, perchè c'è questa differenza? Non dovrebbe essere uguale?
Devo dire che me ne sono accorto un po' per caso e ho provato perchè avevo visto che in un minore h era di primo grado mentre nell'altro era di secondo...
Ora riflettendo un altro po' mi sono accorto però che per $h=0$ il rango della matrice è ancora tre proprio perchè se nel secondo minore sostituisco al posto dell' h zero il determinante di $M'$ è diverso da zero, e quindi ne deduco che anche per $h=0$ il rango della matrice è 3.
Ora qui essendo la matrice abbastanza semplice e il polinomio solo di secondo grado ho potuto fare delle prove e verificare (almeno secondo il mio ragionamento) che effettivamente il rango della matrice è tre solo per $h!=-1$ ma se la matrice fosse stata un po' più complessa e il polinomio ad esempio di decimo grado? come avrei dovuto procedere?
spero di essere stato chiaro...
vi ringrazio anticipatamente.
mi è venuto un dubbio mentre calcolavo il rango di una matrice
allora la matrice in questione è $A=((1,3h,0),(1,-1,-1),(h,1,1),(1,3,0))$
il dubbio mi sorge perchè se prendo in considerazione il minore $M=|(1,3h,0),(1,-1,-1),(h,1,1)|$ mi viene che il rango della matrice è 3 per $h!=-1,0$
mentre se considero invece il minore $M'=|(1,-1,-1),(h,1,1),(1,3,0)|$ mi viene che il rango della matrice è 3 per $h!=-1$
ora la domanda mi sorge spontanea, perchè c'è questa differenza? Non dovrebbe essere uguale?
Devo dire che me ne sono accorto un po' per caso e ho provato perchè avevo visto che in un minore h era di primo grado mentre nell'altro era di secondo...
Ora riflettendo un altro po' mi sono accorto però che per $h=0$ il rango della matrice è ancora tre proprio perchè se nel secondo minore sostituisco al posto dell' h zero il determinante di $M'$ è diverso da zero, e quindi ne deduco che anche per $h=0$ il rango della matrice è 3.
Ora qui essendo la matrice abbastanza semplice e il polinomio solo di secondo grado ho potuto fare delle prove e verificare (almeno secondo il mio ragionamento) che effettivamente il rango della matrice è tre solo per $h!=-1$ ma se la matrice fosse stata un po' più complessa e il polinomio ad esempio di decimo grado? come avrei dovuto procedere?
spero di essere stato chiaro...
vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
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ciao a tutti!
mi è venuto un dubbio mentre calcolavo il rango di una matrice
allora la matrice in questione è $A=((1,3h,0),(1,-1,-1),(h,1,1),(1,3,0))$
il dubbio mi sorge perchè se prendo in considerazione il minore $M=|(1,3h,0),(1,-1,-1),(h,1,1)|$ mi viene che il rango della matrice è 3 per $h!=-1,0$
mentre se considero invece il minore $M'=|(1,-1,-1),(h,1,1),(1,3,0)|$ mi viene che il rango della matrice è 3 per $h!=-1$
ora la domanda mi sorge spontanea, perchè c'è questa differenza? Non dovrebbe essere uguale?
Ti sbagli. Non devono essere uguali.
Infatti:
Il rango di una matrice è 3 se esiste un minore 3x3 con determinante non nullo (e tutti i minori nxn con $n>3$ hanno determinante nullo)
Non se tutti i minori 3x3 hanno determinante non nullo!!
Ad esempio se prendi la matrice $((0,0,1),(0,1,1),(0,0,0))$
allora il minore $((0,0),(0,1))$ ha determinante nullo, mentre il minore $((0,1),(1,1))$ ha determinante diverso da 0 e quindi il rango della matrice è 2.
si si questo mi è chiaro, però nel mio esempio la matrice aveva un parametro... e io dovevo studiare il rango al variare di quel parametro. però considerando un minore invece che l'altro avevo risultati diversi, quindi la mia domanda è per conoscere il rango di una matrice che ha un parametro devo considerare tutti i minori di quell'ordine?
non so se sono stato chiaro
non so se sono stato chiaro
Quando hai scelto un minore 3x3, ne calcoli il det e guardi i valori che ti annullano il det.
Poi analizzi, uno per uno, i valori che hai trovato (devi sostituire i valori nella matrice iniziale).
Poi analizzi, uno per uno, i valori che hai trovato (devi sostituire i valori nella matrice iniziale).
quindi poi devo andare a sostituire tutti i valori che ho trovato?
Se all'inizio scegli il minore $M$, devi studiare i valori che ti annullano il det di $M$.
E' chiaro che, se i tuoi calcoli sono esatti, conviene scegliere il minore $M'$ (infatti il suo det si annulla per un solo valore del parametro $h$).
Ma attenzione: all'inizio tu non sai quale minore ha il det più "semplice"...
E' chiaro che, se i tuoi calcoli sono esatti, conviene scegliere il minore $M'$ (infatti il suo det si annulla per un solo valore del parametro $h$).
Ma attenzione: all'inizio tu non sai quale minore ha il det più "semplice"...
ok allora ti faccio un esempio così vedo se ho capito bene.
allora mettiamo il caso che io scelga il minore $M=|(1,3h,0),(1,-1,-1),(h,1,1)|$
il suo determinante è uguale a $-h(3h+3)$ tale determinante si annulla per $h=-1,0$ io avrei detto quindi che il rango di questa matrice è 3 per $h!=-1,0$
però è sbagliato.
quindi ora cosa dovrei fare? dovrei sostituire prima -1 e poi zero alla matrice e andare a ricalcolare il rango per questi valori?
allora mettiamo il caso che io scelga il minore $M=|(1,3h,0),(1,-1,-1),(h,1,1)|$
il suo determinante è uguale a $-h(3h+3)$ tale determinante si annulla per $h=-1,0$ io avrei detto quindi che il rango di questa matrice è 3 per $h!=-1,0$
però è sbagliato.
quindi ora cosa dovrei fare? dovrei sostituire prima -1 e poi zero alla matrice e andare a ricalcolare il rango per questi valori?
Hai trovato che il det si annulla per $h=0$ e $h=-1$:
per ora puoi affermare che se $h \ne 0 \wedge h \ne -1$ il rango della matrice è 3;
resta da vedere cosa accade mettendo $h=0$ e $h=-1$ nella matrice intera.
Spero che sia chiaro ora...
per ora puoi affermare che se $h \ne 0 \wedge h \ne -1$ il rango della matrice è 3;
resta da vedere cosa accade mettendo $h=0$ e $h=-1$ nella matrice intera.
Spero che sia chiaro ora...
Ho capito grazie.
Aspettando la tua risposta ho ragionato un po' e sono arrivato ad un' altra conclusione vediamo se giusta.
allora ho pensato che invece di partire da un minore di terzo ordine parto da un minore di secondo ordine in questo caso sono anche fortunato perchè esiste
$M=|(1,1),(3,0)|$ che non contiene il parametro e ha $det=-3$ quindi posso affermare con certezza che il rango della matrice è almeno 2 per ogni valore di h. poi mi calcolo gli orlati di questo minore che sono uguali a quelli che già avevo calcolato primo ovvero $M$ ed $M'$ per i quali il determinante si annulla rispettivamente per $h=-1,0$ e $h=-1$ ora per come ho ragionato io posso affermare che solo per $h!=-1$ il rango della matrice è 3 dato che solo -1 è una soluzione comune ad entrambi, mentre se fosse capitato il caso in cui non esisteva un valore di h che annullava simultaneamente il determinante di $M$ ed $M'$ il rango della matrice sarebbe stato 3 per ogni valore di h. è giusto come ragionamento? a me sembra di si e mi sembra anche più sbrigativo come metodo.
Aspettando la tua risposta ho ragionato un po' e sono arrivato ad un' altra conclusione vediamo se giusta.
allora ho pensato che invece di partire da un minore di terzo ordine parto da un minore di secondo ordine in questo caso sono anche fortunato perchè esiste
$M=|(1,1),(3,0)|$ che non contiene il parametro e ha $det=-3$ quindi posso affermare con certezza che il rango della matrice è almeno 2 per ogni valore di h. poi mi calcolo gli orlati di questo minore che sono uguali a quelli che già avevo calcolato primo ovvero $M$ ed $M'$ per i quali il determinante si annulla rispettivamente per $h=-1,0$ e $h=-1$ ora per come ho ragionato io posso affermare che solo per $h!=-1$ il rango della matrice è 3 dato che solo -1 è una soluzione comune ad entrambi, mentre se fosse capitato il caso in cui non esisteva un valore di h che annullava simultaneamente il determinante di $M$ ed $M'$ il rango della matrice sarebbe stato 3 per ogni valore di h. è giusto come ragionamento? a me sembra di si e mi sembra anche più sbrigativo come metodo.
nessuono può dirmi se il mio ragionamento è giusto?
Credo di si ma avendo iniziato a studiare la materia da poco vorrei avere qualche conferma...
Credo di si ma avendo iniziato a studiare la materia da poco vorrei avere qualche conferma...
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