Determinazione di una base [Applicazioni lineari]
'Salve
Per prima cosa volevo farvi i complimenti.. è stata una piacevole sorpresa fare la vostra conoscenza
Ho un piccolo dubbio, sicuramente i più lo troveranno abbastanza sciocco, sulle applicazioni lineari (in particolar modo sulla determinazione di una loro base).
Nella fattispecie ho la seguente applicazione lineare:
$L: RR^3 -> RR^3 $
$L([x_1,x_2,x_2]^T)]=[(3*x_1 + x_2 - beta*x_3bb,3*x_1-x_2+4*x_3bb,x_1-3*x_2)]^T
Al variare nel parametro reale $beta$ l'applicazione è lineare o meno (biunivoca o meno).
$beta=-5$ è il valore che rende l'applicazione non biunivoca.
Il quesito è il seguente: "Determinare nel caso $beta=-5$ una base ortogonale di Im(L) (immagine) e determinare il sottospazio V dei vettori ortogonali a Im(L)".
Allora, nel caso $beta=-5$ i vettori colonna che formano la matrice A cosi definita: L(x) = A*x (x=$[x_1bb,x_2bb,x_3]$) risultano a due due linearmente indipendenti (essendo la dimensione dell'immagine pari a 2), quindi formano una base per l'immagine di L... ma i vettori tra di loro non risultano ortogonali.
E qui viene il dubbio (che è concettuale), come base per Im(L) posso scegliere due vettori a "caso" ?
Articolo meglio, basta che prendo due vettori ortogonali tra loro e linearmente indipendenti.. ovviamente i vettori che scelgo non devono essere nulli e, dato che l'applicazione non è biunivoca, non devono essere combinazione lineare del vettore che ricavo dal seguente sistema A*x = 0 (in questo caso $Ker(L)=<[3bb,1bb,-2]^T>$) (volgarmente, il vettore che scelgo non deve essere uguale a $[3bb,1bb,-2]^T$ moltiplicato per un qualsivoglia scalare).
Se la risposta è affermativa, il sottospazio V è semplicemente il prodotto vettore tra i due vettori che scelgo come base ?
Vi ringrazio in anticipo x l'aiuto
NotteTempo
Per prima cosa volevo farvi i complimenti.. è stata una piacevole sorpresa fare la vostra conoscenza
Ho un piccolo dubbio, sicuramente i più lo troveranno abbastanza sciocco, sulle applicazioni lineari (in particolar modo sulla determinazione di una loro base).
Nella fattispecie ho la seguente applicazione lineare:
$L: RR^3 -> RR^3 $
$L([x_1,x_2,x_2]^T)]=[(3*x_1 + x_2 - beta*x_3bb,3*x_1-x_2+4*x_3bb,x_1-3*x_2)]^T
Al variare nel parametro reale $beta$ l'applicazione è lineare o meno (biunivoca o meno).
$beta=-5$ è il valore che rende l'applicazione non biunivoca.
Il quesito è il seguente: "Determinare nel caso $beta=-5$ una base ortogonale di Im(L) (immagine) e determinare il sottospazio V dei vettori ortogonali a Im(L)".
Allora, nel caso $beta=-5$ i vettori colonna che formano la matrice A cosi definita: L(x) = A*x (x=$[x_1bb,x_2bb,x_3]$) risultano a due due linearmente indipendenti (essendo la dimensione dell'immagine pari a 2), quindi formano una base per l'immagine di L... ma i vettori tra di loro non risultano ortogonali.
E qui viene il dubbio (che è concettuale), come base per Im(L) posso scegliere due vettori a "caso" ?
Articolo meglio, basta che prendo due vettori ortogonali tra loro e linearmente indipendenti.. ovviamente i vettori che scelgo non devono essere nulli e, dato che l'applicazione non è biunivoca, non devono essere combinazione lineare del vettore che ricavo dal seguente sistema A*x = 0 (in questo caso $Ker(L)=<[3bb,1bb,-2]^T>$) (volgarmente, il vettore che scelgo non deve essere uguale a $[3bb,1bb,-2]^T$ moltiplicato per un qualsivoglia scalare).
Se la risposta è affermativa, il sottospazio V è semplicemente il prodotto vettore tra i due vettori che scelgo come base ?
Vi ringrazio in anticipo x l'aiuto
NotteTempo
Risposte
"NotteTempo":
E qui viene il dubbio (che è concettuale), come base per Im(L) posso scegliere due vettori a "caso" ?
A caso non si fa nulla. Se hai tre vettori e sai che generano uno spazio di dimensione due, ti basta scegliere, fra questi tre, due vettori linearmente indipendenti. Ovviamente, se non ci sono di mezzo vettori nulli, la scelta non è unica. Se poi i vettori che hai scelto non sono ortogonali poco male, usi il metodo di Gram-Schmidt.
Se una base dell'immagine è $\{(a_1, a_2, a_3), (b_1, b_2, b_3)\}$, l'equazione cartesiana dello spazio ortogonale all'immagine di $L$ ha equazione cartesiana
$\{(a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0),(b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 = 0):}$
Ovvero, basta prendere un generico vettore $((x_1),(x_2),(x_3))$ e imporre che il prodotto scalare con ogni elemento della base di $"Im"(L)$ sia nullo.
$\{(a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0),(b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 = 0):}$
Ovvero, basta prendere un generico vettore $((x_1),(x_2),(x_3))$ e imporre che il prodotto scalare con ogni elemento della base di $"Im"(L)$ sia nullo.
A caso non si fa nulla
Se leggevi (cosa che sicuramente avrai fatto) più sotto avevo menzionato le proprietà che tu mi hai ricordato nel tuo primo reply, il a caso voleva essere un po' ironico
Se poi i vettori che hai scelto non sono ortogonali poco male, usi il metodo di Gram-Schmidt
Il mio dubbio per l'appunto è questo, posso scegliere una qualsiasi base (esempio: << (1,0,0) (0,1,0) >>), o devo usare il metodo Gram-Schmidt prendendo come riferimento un vettore colonna della matrice A.
Se ovviamente in tutte e due i casi ottengo una base "valida" per l'immagine di L, prendo la base del esempio, perchè complicarmi la vita ?
Nel tuo secondo reply, mi hai confermato la mia supposizione, quindi basta fare il prodotto vettore (che come ben saprai, ti restituisce un vettore ortogonale ai due).
'Saluti
NotteTempo
"NotteTempo":A caso non si fa nulla
Se leggevi (cosa che sicuramente avrai fatto) più sotto avevo menzionato le proprietà che tu mi hai ricordato nel tuo primo reply, il a caso voleva essere un po' ironico
Forse non s'è capito, ma pure la mia risposta era ironica.
"NotteTempo":
Il mio dubbio per l'appunto è questo, posso scegliere una qualsiasi base (esempio: << (1,0,0) (0,1,0) >>), o devo usare il metodo Gram-Schmidt prendendo come riferimento un vettore colonna della matrice A.
Se ovviamente in tutte e due i casi ottengo una base "valida" per l'immagine di L, prendo la base del esempio, perchè complicarmi la vita ?
Certo, se fra i tre ce ne sono due ortogonali prendi quelli.
"NotteTempo":
Nel tuo secondo reply, mi hai confermato la mia supposizione, quindi basta fare il prodotto vettore (che come ben saprai, ti restituisce un vettore ortogonale ai due)
Be' no: nella mia seconda reply ho usato il prodotto scalare, non vettoriale. Si può usare anche il prodotto vettoriale (perché siamo in $\mathbb{R}^3$ e stai cercando il complemento ortogonale di un piano) ma in questo caso non trovi l'equazione cartesiana (come invece ho trovato io) ma trovi la base dello spazio (formata per l'appunto dal vettore risultante).
"Tipper":
Forse non s'è capito, ma pure la mia risposta era ironica.
Allora mi devo scusare, ho frainteso.. spero che non ci sia rancore
"Tipper":Se ovviamente in tutte e due i casi ottengo una base "valida" per l'immagine di L, prendo la base del esempio, perchè complicarmi la vita ?
Certo, se fra i tre ce ne sono due ortogonali prendi quelli.
Purtroppo, rileggendo, mi sono reso conto che ho scritto in maniera tale da rendere facili dei fraintendimenti, come è successo.
I vettori che ti ho citato ( [(1,0,0] e [0,1,0)] ) non sono i vettori colonna della matrice A ma sono due vettori che arbitrariamente ho scelto (è da qua l'aggettivo ironico a caso)... il dubbio che ti ho scritto è se posso prendere questi due vettori come base o devo per forza applicare il metodo Gram-Schmidt su un vettore colonna della matrice A (i vettori colonna della matrice A non sono ortogonali tra di loro, in nessuna delle loro combinazioni).
Per quanto riguarda il sottospazio, sono semplicemente due metodi diversi di calcolarlo... mi hai comunque confermato che il risultato deve essere un vettore ortogonale ai due vettori della base (cioè al piano che i due vettori della base formano)
Ti ringrazio Tipper per la pazienza
NotteTempo
"NotteTempo":
[quote="Tipper"]Forse non s'è capito, ma pure la mia risposta era ironica.
Allora mi devo scusare, ho frainteso.. spero che non ci sia rancore
[/quote]
Non c'è bisogno che ti scusi, non è mica successo nulla.
"NotteTempo":
[quote="Tipper"]Se ovviamente in tutte e due i casi ottengo una base "valida" per l'immagine di L, prendo la base del esempio, perchè complicarmi la vita ?
Certo, se fra i tre ce ne sono due ortogonali prendi quelli.
Purtroppo, rileggendo, mi sono reso conto che ho scritto in maniera tale da rendere facili dei fraintendimenti, come è successo.
I vettori che ti ho citato ( [(1,0,0] e [0,1,0)] ) non sono i vettori colonna della matrice A ma sono due vettori che arbitrariamente ho scelto (è da qua l'aggettivo ironico a caso)... il dubbio che ti ho scritto è se posso prendere questi due vettori come base o devo per forza applicare il metodo Gram-Schmidt su un vettore colonna della matrice A (i vettori colonna della matrice A non sono ortogonali tra di loro, in nessuna delle loro combinazioni).
[/quote]
Ah, ho capito. Mettiamola così: delle tre colonne della matrice, chiamiamo $v_1$ e $v_2$ due colonne linearmente indipendenti. Ovviamente l'immagine è lo spazio generato da $v_1$ e $v_2$. Tu puoi prendere, come base ortonormale dell'immagine, l'insieme $\{(1,0,0), (0,1,0)\}$ solo se lo spazio generato da questi vettori è uguale allo spazio generato da $v_1$ e $v_2$.
Detto in altri termini, deve essere possibile esprimere i vettori $v_1$ e $v_2$ come combinazione lineare di $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$. Nell'esempio considerato questo è vero solo se $v_1$ e $v_2$ hanno la terza componente nulla.
Ricapitolando, se $v_1$ e $v_2$ possono essere espressi come combinazione lineare di $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$, prendi pure questa base, altrimenti usa Gram-Schmidt su $v_1$ e $v_2$.
"NotteTempo":
Per quanto riguarda il sottospazio, sono semplicemente due metodi diversi di calcolarlo... mi hai comunque confermato che il risultato deve essere un vettore ortogonale ai due vettori della base (cioè al piano che i due vettori della base formano)
Certo, sono due modi diversi di calcolarlo, che ovviamente portano allo stesso risultato. Volevo solo far notare che si può passare attraverso il prodotto vettoriale solo se si vuole trovare il complemento ortogonale di un piano, e si sta lavorando in $\mathbb{R}^3$. Il prodotto scalare, con cui si trova l'equazione cartesiana del complemento ortogonale, può essere usato sempre (a patto di conoscere una base dello spazio di partenza).
Ti ringrazio, hai chiarito proprio il mio dubbio...
Saluti
Grazie ancora Tipper
Saluti
Grazie ancora Tipper
De nada.
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