Determinazione di piani, rette e com. perpen. nello spazio
Buonasera ragazzi 
.
Ho qualche difficoltà nel risolvere l'esercizio sottostante:
Nello spazio affine euclideo tridimensionale `E^3` si considerino le rette
$ r{ ( x=1+t'),( y= 2-t' ),( z= -t' ):} $ ed $ r'{ ( x+by-z+1 = 0 ),( x+z = 0 ):} $
ed il punto $ A=(1,1,1) $
Calcolare
1)La posizione reciproca delle due rette al variare del parametro reale $ b $
2)In relazione al valore del parametro per cui risulta $ r_|_r' $ ,si determino i piani $ pi , pi',pi'' $ contenenti rispettivamente il punto $ A $, la retta $ r $, la retta $ r' $ e paralleli ad entrambe le rette.
3)In relazione al valore del parametro per cui risulta $ r_|_r' $ , si determini la comune perpendicolare $ p $ di $ r $ ed $ r' $
Probabile svolgimento
1) Porto la retta $ r $ in forma cartesiana e dopodiché studio il rango della matrice formata dalle due rette e, a seconda del valore di quest'ultimo mi rendo conto per quale valore del parametro reale $ b $ ottengo le varie posizioni reciproche
2)Ecco il problema è questo punto, non ho capito veramente da dove iniziare
3) Devo determinare la comune perpendicolare di due rette incidenti, quindi calcolerò il punto d'incidenza tra $ r $ ed
$ r' $ e poi, attraverso il prodotto scalare tra $ u_r $ ed $ u_(r') $ potrò costruire la mia retta.
Quello che vi chiedo è: una conferma sul procedimento dei punti 1 e 3 ed un aiuto sul punto 2. Grazie in anticipo a tutti voi.
P.S. Mi scuso se ho usato un linguaggio poco consono o non sono stato molto chiaro, sarò felice di rimediare se qualcuno vorrà correggermi.
.Ho qualche difficoltà nel risolvere l'esercizio sottostante:
Nello spazio affine euclideo tridimensionale `E^3` si considerino le rette
$ r{ ( x=1+t'),( y= 2-t' ),( z= -t' ):} $ ed $ r'{ ( x+by-z+1 = 0 ),( x+z = 0 ):} $
ed il punto $ A=(1,1,1) $
Calcolare
1)La posizione reciproca delle due rette al variare del parametro reale $ b $
2)In relazione al valore del parametro per cui risulta $ r_|_r' $ ,si determino i piani $ pi , pi',pi'' $ contenenti rispettivamente il punto $ A $, la retta $ r $, la retta $ r' $ e paralleli ad entrambe le rette.
3)In relazione al valore del parametro per cui risulta $ r_|_r' $ , si determini la comune perpendicolare $ p $ di $ r $ ed $ r' $
Probabile svolgimento
1) Porto la retta $ r $ in forma cartesiana e dopodiché studio il rango della matrice formata dalle due rette e, a seconda del valore di quest'ultimo mi rendo conto per quale valore del parametro reale $ b $ ottengo le varie posizioni reciproche
2)Ecco il problema è questo punto, non ho capito veramente da dove iniziare
3) Devo determinare la comune perpendicolare di due rette incidenti, quindi calcolerò il punto d'incidenza tra $ r $ ed
$ r' $ e poi, attraverso il prodotto scalare tra $ u_r $ ed $ u_(r') $ potrò costruire la mia retta.
Quello che vi chiedo è: una conferma sul procedimento dei punti 1 e 3 ed un aiuto sul punto 2. Grazie in anticipo a tutti voi.
P.S. Mi scuso se ho usato un linguaggio poco consono o non sono stato molto chiaro, sarò felice di rimediare se qualcuno vorrà correggermi.
Risposte
Non devi scusarti perché i tuoi messaggi sono ben scritti e molto ordinati 
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Detto ciò, confermo 1) e 3) (intendi prodotto vettoriale immagino). Riguardo a 2), ecco cosa devi fare: sostituisci a $b$ il valore (o i valori) per cui $r,r'$ risultano ortogonali. Dopo di che, ricava dalle equazioni parametriche delle due rette i loro rispettivi vettori direzionali $v,v'$. Il piano che cerchi sicuramente sarà individuato da questi due vettori, cioè avrà equazioni parametriche:
$((x),(y),(z))= t_1 v + t_2 v' + ((a),(b),(c))$
dove $t_1, t_2$ sono i parametri e $((a),(b),(c))$ è un punto di passaggio che ora determiniamo.
A questo punto il problema si spacca in tre sottocasi:
1. caso in cui $A$ appartiene al piano: semplicemente inserisci le coordinate di $A$ al posto di $((a),(b),(c))$
2. caso in cui $r$ appartiene al piano: sostituisci un qualunque punto di $r$ a tua scelta al posto di $((a),(b),(c))$
3. caso in cui $r'$ appartiene al piano : analogo al caso 2
Fammi sapere se non sono stata chiara!
Paola
.Detto ciò, confermo 1) e 3) (intendi prodotto vettoriale immagino). Riguardo a 2), ecco cosa devi fare: sostituisci a $b$ il valore (o i valori) per cui $r,r'$ risultano ortogonali. Dopo di che, ricava dalle equazioni parametriche delle due rette i loro rispettivi vettori direzionali $v,v'$. Il piano che cerchi sicuramente sarà individuato da questi due vettori, cioè avrà equazioni parametriche:
$((x),(y),(z))= t_1 v + t_2 v' + ((a),(b),(c))$
dove $t_1, t_2$ sono i parametri e $((a),(b),(c))$ è un punto di passaggio che ora determiniamo.
A questo punto il problema si spacca in tre sottocasi:
1. caso in cui $A$ appartiene al piano: semplicemente inserisci le coordinate di $A$ al posto di $((a),(b),(c))$
2. caso in cui $r$ appartiene al piano: sostituisci un qualunque punto di $r$ a tua scelta al posto di $((a),(b),(c))$
3. caso in cui $r'$ appartiene al piano : analogo al caso 2
Fammi sapere se non sono stata chiara!
Paola
Innanzitutto ti ringrazio della tua risposta istantanea e mi scuso per il mio estremo ritardo nel risponderti ma, a quanto pare, i libri non volevo proprio staccarsi da me .
A parte gli scherzi, sei chiarissima tuttavia ancora non capisco come ottenere un'equazione del piano della forma $ ax+by+cz+d=0 $
Infatti, quando ottengo i vettori direzionali della retta $ r $ ed $ r' $ che, giusto per essere chiari sono rispettivamente $ (1,-1,-1) $ ed $ (1,1,1) $ , li vado poi a moltiplicare rispettivamente per $ t $ e $ t’ $ e ottengo così $ (t,-t,-t) $ ed $ (t,t,t) $ …..e qui mi sono fermato.
Infatti, mi troverei una cosa del tipo $ (t+t^’+1,-t+t^’+1,-t+t^’+1) $ (per il punto A) e adesso? Forse dovrei sostituire a $ t $ e $ t' $ due valori numerici ed ottenere così i coefficienti della $ x,y,z $ del mio piano? O (molto più probabile) dovrei fare in un altro modo?
Ti ringrazio ancora per la tua gentilezza e cortesia e mi scuso ancora per il mio indecoroso ritardo.
p.s. ti ringrazio per il complimento sulla chiareza dei miei problemi da circa un mese sono diventato un assiduo frequentatore di questo forum e quando leggo le tue risposte sono certo di capirle e di non sbagliare 
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.A parte gli scherzi, sei chiarissima tuttavia ancora non capisco come ottenere un'equazione del piano della forma $ ax+by+cz+d=0 $
Infatti, quando ottengo i vettori direzionali della retta $ r $ ed $ r' $ che, giusto per essere chiari sono rispettivamente $ (1,-1,-1) $ ed $ (1,1,1) $ , li vado poi a moltiplicare rispettivamente per $ t $ e $ t’ $ e ottengo così $ (t,-t,-t) $ ed $ (t,t,t) $ …..e qui mi sono fermato
.Infatti, mi troverei una cosa del tipo $ (t+t^’+1,-t+t^’+1,-t+t^’+1) $ (per il punto A) e adesso? Forse dovrei sostituire a $ t $ e $ t' $ due valori numerici ed ottenere così i coefficienti della $ x,y,z $ del mio piano? O (molto più probabile) dovrei fare in un altro modo?
Ti ringrazio ancora per la tua gentilezza e cortesia e mi scuso ancora per il mio indecoroso ritardo.
p.s. ti ringrazio per il complimento sulla chiareza dei miei problemi
da circa un mese sono diventato un assiduo frequentatore di questo forum e quando leggo le tue risposte sono certo di capirle e di non sbagliare .
Ciao, che strano, ricordo che il tuo primo messaggio in questo topic era scritto con le formule tutte ordinate... dove sono sparite?! Mistero...
Riguardo alla tua domanda, le equazioni che ottieni seguendo il mio suggerimento sono equazioni parametriche (nei parametri $t,t'$ come li hai chiamati tu). Se vuoi arrivare alla forma cartesiana (cioè $ax+by+cz+d=0$) devi eliminare i parametri.
Ad esempio, troviamo il piano contenente $A=(1,1,1)$:
$((x),(y),(z))= t ((1),(-1),(-1)) + t'((1),(1),(1)) + ((1),(1),(1)) \to \{(x=t +t' +1),(y=-t+t'+1),(z=-t+t'+1):}$
Cerco di ricavare $t,t'$ in funzione di $x,y,z$:
1. sommo la prima e seconda equazione ottenendo
$\{(x=t +t' +1),(x+y-1=2t'),(z=t'-t+1):}$
2. ora dalla seconda equazione mi ricavo $t'$ e lo sostituisco nella prima
$\{(x=t +\frac{x+y-1}{2} +1),(x+y-1=2t'),(z=t'-t+1):}\to \{(t=\frac{x-y-1}{2}),(t'=\frac{x+y-1}{2}),(z=t'-t+1):}$
3. sostituisco le espressioni trovate per $t,t'$ nella terza equazione, ottenendo
$z=\frac{x+y-1}{2}-\frac{x-y-1}{2}+1\to z-y-1=0$
Ecco fatto... questo è un procedimento standard per passare da equazioni parametriche a cartesiane. Ovviamente non funziona solo con i piani! Il concetto è cercare di ricavarsi i parametri in funzione delle coordinate cartesiane (qui $x,y,z$) da tutte le equazioni tranne una e poi sostituire le espressioni trovate nell'ultima equazione, quella non utilizzata.
Paola
Riguardo alla tua domanda, le equazioni che ottieni seguendo il mio suggerimento sono equazioni parametriche (nei parametri $t,t'$ come li hai chiamati tu). Se vuoi arrivare alla forma cartesiana (cioè $ax+by+cz+d=0$) devi eliminare i parametri.
Ad esempio, troviamo il piano contenente $A=(1,1,1)$:
$((x),(y),(z))= t ((1),(-1),(-1)) + t'((1),(1),(1)) + ((1),(1),(1)) \to \{(x=t +t' +1),(y=-t+t'+1),(z=-t+t'+1):}$
Cerco di ricavare $t,t'$ in funzione di $x,y,z$:
1. sommo la prima e seconda equazione ottenendo
$\{(x=t +t' +1),(x+y-1=2t'),(z=t'-t+1):}$
2. ora dalla seconda equazione mi ricavo $t'$ e lo sostituisco nella prima
$\{(x=t +\frac{x+y-1}{2} +1),(x+y-1=2t'),(z=t'-t+1):}\to \{(t=\frac{x-y-1}{2}),(t'=\frac{x+y-1}{2}),(z=t'-t+1):}$
3. sostituisco le espressioni trovate per $t,t'$ nella terza equazione, ottenendo
$z=\frac{x+y-1}{2}-\frac{x-y-1}{2}+1\to z-y-1=0$
Ecco fatto... questo è un procedimento standard per passare da equazioni parametriche a cartesiane. Ovviamente non funziona solo con i piani! Il concetto è cercare di ricavarsi i parametri in funzione delle coordinate cartesiane (qui $x,y,z$) da tutte le equazioni tranne una e poi sostituire le espressioni trovate nell'ultima equazione, quella non utilizzata.
Paola
Ancora una volta mi sei stata di grandissimo aiuto , mille grazie per la tua estrema disponibilità
p.s. Ah, allora non era colpa di internet, veramente non si vedevano più le formule
. Comunque tutto risolto, ho rieditato il topic.
, mille grazie per la tua estrema disponibilità p.s. Ah, allora non era colpa di internet, veramente non si vedevano più le formule
. Comunque tutto risolto, ho rieditato il topic.
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