Determinazione di autovalori e calcolo della dim kerf
Per favore aiutatemi con questo esercizio, premetto che non lo so fare, sto studiano l'orale e facendo tutti gli ex del libro, ma ancora non sono in grado di svolgerlo, perciò vi chiedo se gentilmente potreste svolgere questo esercizio, perchè quasi tutti gli ex di questo argomento nell'esame che devo sostenere sono simili.
Datemi una mano, in modo di poter tenere questo esercizio anche come base-schema, per quando andrò a risolvere gli altri..
Sia data l'applicazione lineare f:R3-->R3
f(x,y,z)=(x-y,x-y+z,2z)
stabilire se l'endomorfismo è semplice con motivazione
determinare autospazi e una base di autovettori
calcolare dim Kerf, dim Imf, una base di Kerf, una base di Imf
determinare se è possibile una matrice diagonale simile ad (M^(B,B))(f) ed una matrice P che diagonalizza (M^(BB))(f)(B base canonica)
Ogni eventuale consiglio sul come agire,da dove partire o da quale pseudo visuale è preferibile usare è ben accetto...
Datemi una mano, in modo di poter tenere questo esercizio anche come base-schema, per quando andrò a risolvere gli altri..
Sia data l'applicazione lineare f:R3-->R3
f(x,y,z)=(x-y,x-y+z,2z)
stabilire se l'endomorfismo è semplice con motivazione
determinare autospazi e una base di autovettori
calcolare dim Kerf, dim Imf, una base di Kerf, una base di Imf
determinare se è possibile una matrice diagonale simile ad (M^(B,B))(f) ed una matrice P che diagonalizza (M^(BB))(f)(B base canonica)
Ogni eventuale consiglio sul come agire,da dove partire o da quale pseudo visuale è preferibile usare è ben accetto...
Risposte
per quanto riguarda il punto 3..dim Kerf
è giusto se ipotizzo l'esistenza di tre vettori:
v1(1,0,0),v2(1,1,0),v3(1,1,1)
f(1,0,0)=(1,1,0)
f(1,1,0)=(0,0,0)
f(1,1,1)=(0,1,2)
poniamo l'esistenza di 3 basi canoniche:
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
(1,1,0)=1*(1,0,0)+1*(0,1,0)+0*(0,0,1)
(0,0,0)=0*(1,0,0)+0*(0,1,0)+0*(0,0,1)
(0,1,2)=0*(1,0,0)+1*(0,1,0)+2*(0,0,1)
sia allora la matrice caratteristica A=\( \displaystyle {N}={\left[\matrix{{1}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{2}}\right]} \)
rkA=2
dim Kerf=3-2=1
come base del Kerf, posso usare v2 visto che poi da (0,0,0)
per base della Imf posso usare i vettori v1 e v3 che sono vettori indipendenti che mi danno (1,1,0),(0,1,2)
come si trova la dim Imf??
MOlto probabilmente sarà sbagliato, ma io ci ho provato, anche per far si di ricevere qualche risposta
è giusto se ipotizzo l'esistenza di tre vettori:
v1(1,0,0),v2(1,1,0),v3(1,1,1)
f(1,0,0)=(1,1,0)
f(1,1,0)=(0,0,0)
f(1,1,1)=(0,1,2)
poniamo l'esistenza di 3 basi canoniche:
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
(1,1,0)=1*(1,0,0)+1*(0,1,0)+0*(0,0,1)
(0,0,0)=0*(1,0,0)+0*(0,1,0)+0*(0,0,1)
(0,1,2)=0*(1,0,0)+1*(0,1,0)+2*(0,0,1)
sia allora la matrice caratteristica A=\( \displaystyle {N}={\left[\matrix{{1}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{2}}\right]} \)
rkA=2
dim Kerf=3-2=1
come base del Kerf, posso usare v2 visto che poi da (0,0,0)
per base della Imf posso usare i vettori v1 e v3 che sono vettori indipendenti che mi danno (1,1,0),(0,1,2)
come si trova la dim Imf??
MOlto probabilmente sarà sbagliato, ma io ci ho provato, anche per far si di ricevere qualche risposta
Può essere sia incomprensibile, ma non è che mi puoi dare una mano??
si, è tutto sbagliato, spero che tu mi possa aiutare a risolverlo, sto studiando la teoria ma ancora non so risolverlo, cmq non è che me lo potresti risolvere tu, è vero che il modo migliore di aiutare le persone non è quello di risolvere i compiti al posto loro,ma credo che in questo caso questo mi potrebbe essere d'aiuto solo per accelerare il mio apprendimento. Non è che potresti risolvermi almeno questo punto??
é giusto allora se faccio cosi??
f(1,0,0)=(1,1,0)
f(0,1,0)=(-1,-1,0)
f(0,0,1)=(0,1,2)
\( \displaystyle{A}={\left[\matrix{{1}&{1}&{0}\\-{1}&-{1}&{0}\\{0}&{1}&{2}}\right]} \)
Ma rkA mi da il dimImf ?
dim Imf= rKa=2
Ma dimV è uguale a 3??
dim Kerf=dimV-dimImf=3-2=1
\( \displaystyle{\left[\matrix{{1}&{1}&{0}\\-{1}&-{1}&{0}\\{0}&{1}&{2}}\right]} \)*\( \displaystyle{\left[\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right]} \)=\( \displaystyle{\left[\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right]} \)
\( \displaystyle{\left[\matrix{{x+y}\\{-x-y}\\{2z}}\right]} \)
x+y=0
-x-y=0
2z=0
x=k
y=-k
z=0
k(1,-1,0)
Kerf= (1,-1,0)
infatti f(1,-1,0)=(0,0,0)
quindi Imf è data da {(1,-1,0),(1,-1,1)} , ottenuta facendo la matrice a gradini, che mi da che le prime due colonne sono linearmente indipendenti???
f(1,0,0)=(1,1,0)
f(0,1,0)=(-1,-1,0)
f(0,0,1)=(0,1,2)
\( \displaystyle{A}={\left[\matrix{{1}&{1}&{0}\\-{1}&-{1}&{0}\\{0}&{1}&{2}}\right]} \)
Ma rkA mi da il dimImf ?
dim Imf= rKa=2
Ma dimV è uguale a 3??
dim Kerf=dimV-dimImf=3-2=1
\( \displaystyle{\left[\matrix{{1}&{1}&{0}\\-{1}&-{1}&{0}\\{0}&{1}&{2}}\right]} \)*\( \displaystyle{\left[\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right]} \)=\( \displaystyle{\left[\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right]} \)
\( \displaystyle{\left[\matrix{{x+y}\\{-x-y}\\{2z}}\right]} \)
x+y=0
-x-y=0
2z=0
x=k
y=-k
z=0
k(1,-1,0)
Kerf= (1,-1,0)
infatti f(1,-1,0)=(0,0,0)
quindi Imf è data da {(1,-1,0),(1,-1,1)} , ottenuta facendo la matrice a gradini, che mi da che le prime due colonne sono linearmente indipendenti???
Sia data l'applicazione lineare f:R3-->R3
f(x,y,z)=(x-y,x-y+z,2z)
stabilire se l'endomorfismo è semplice con motivazione
determinare autospazi e una base di autovettori
calcolare dim Kerf, dim Imf, una base di Kerf, una base di Imf
determinare se è possibile una matrice diagonale simile ad (M^(B,B))(f) ed una matrice P che diagonalizza (M^(BB))(f)(B base canonica)
f(1,0,0)=(1,1,0)
f(0,1,0)=(-1,-1,0)
f(0,0,1)=(0,1,2)
\( \displaystyle{A}={\left[\matrix{{1}&-{1}&{0}\\{1}&-{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}}\right]} \)
dim Imf= rKa=2
dimV =3
dim Kerf=dimV-dimImf=3-2=1
\( \displaystyle{\left[\matrix{{1}&-{1}&{0}\\{1}&-{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}}\right]} \)*\( \displaystyle{\left[\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right]} \)=\( \displaystyle{\left[\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right]} \)
\( \displaystyle{\left[\matrix{{x-y}\\{x-y+z}\\{2z}}\right]} \)=\( \displaystyle{\left[\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right]} \)
x-y=0
x-y+z=0
2z=0
x=k
y=k
z=0
una base del nucleo è {k(1,1,0)}
Kerf={(k(1,1,0) $ k in RR $ }
infatti f(1,1,0)=(0,0,0)
calcolo ora l'immagine:
la matrice era:\( \displaystyle{A}={\left[\matrix{{1}&-{1}&{0}\\{1}&-{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}}\right]} \)
la sua trasposta è :\( \displaystyle{A}={\left[\matrix{{1}&{1}&{0}\\-{1}&-{1}&{0}\\{0}&{1}&{2}}\right]} \)
Riduco la matrice trasposta a scalini e prendo le righe linearmente indipendenti
\( \displaystyle{A}={\left[\matrix{{1}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{2}\\{0}&{0}&{0}}\right]} \)
{ $ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ),( 0 , 2) ) $ }
la base di Imf sarà allora {(1,1,0),(0,1,2)}
oppure è meglio scriverle cosi:{(x+y),(y+z)} ??
e anche la base del nucleo sarà {(x+y)}??
f(x,y,z)=(x-y,x-y+z,2z)
stabilire se l'endomorfismo è semplice con motivazione
determinare autospazi e una base di autovettori
calcolare dim Kerf, dim Imf, una base di Kerf, una base di Imf
determinare se è possibile una matrice diagonale simile ad (M^(B,B))(f) ed una matrice P che diagonalizza (M^(BB))(f)(B base canonica)
f(1,0,0)=(1,1,0)
f(0,1,0)=(-1,-1,0)
f(0,0,1)=(0,1,2)
\( \displaystyle{A}={\left[\matrix{{1}&-{1}&{0}\\{1}&-{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}}\right]} \)
dim Imf= rKa=2
dimV =3
dim Kerf=dimV-dimImf=3-2=1
\( \displaystyle{\left[\matrix{{1}&-{1}&{0}\\{1}&-{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}}\right]} \)*\( \displaystyle{\left[\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right]} \)=\( \displaystyle{\left[\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right]} \)
\( \displaystyle{\left[\matrix{{x-y}\\{x-y+z}\\{2z}}\right]} \)=\( \displaystyle{\left[\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right]} \)
x-y=0
x-y+z=0
2z=0
x=k
y=k
z=0
una base del nucleo è {k(1,1,0)}
Kerf={(k(1,1,0) $ k in RR $ }
infatti f(1,1,0)=(0,0,0)
calcolo ora l'immagine:
la matrice era:\( \displaystyle{A}={\left[\matrix{{1}&-{1}&{0}\\{1}&-{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}}\right]} \)
la sua trasposta è :\( \displaystyle{A}={\left[\matrix{{1}&{1}&{0}\\-{1}&-{1}&{0}\\{0}&{1}&{2}}\right]} \)
Riduco la matrice trasposta a scalini e prendo le righe linearmente indipendenti
\( \displaystyle{A}={\left[\matrix{{1}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{2}\\{0}&{0}&{0}}\right]} \)
{ $ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ),( 0 , 2) ) $ }
la base di Imf sarà allora {(1,1,0),(0,1,2)}
oppure è meglio scriverle cosi:{(x+y),(y+z)} ??
e anche la base del nucleo sarà {(x+y)}??
cosi penso sia più giusto, ora mi potreste dire i primi 2 quesiti, quello per verificare se l'endomorfismo è semplice, e quello di determinare gli autospazi e una base di autovettori..please
Cmq, grazie tantissime, Sergio, sei stato gentilissimo oltre che super paziente!!!
Cmq, grazie tantissime, Sergio, sei stato gentilissimo oltre che super paziente!!!
scusa, ho rimodificato il messaggio precedente, potresti darci un occhiata per favore
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