Determinazione di asse e angolo della matrice di rotazione.
Ciao a tutti, sto risolvendo un esercizio di Meccanica razionale ma ho inserito qui perchè si tratta più un problema di Algebra Lineare. L'esercizio è il seguente:
Data una matrice Q= $((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0))$ (si ricordi che Q è la matrice di rotazione)
1) Dimostrare che Q è un tensore ortogonale proprio;
2) Qual è il suo asse di rotazione?
3) Qual è l'angolo di rotazione?
Per la prima risposta ho dimostrato che Q è ortogonale, cioè la sua inversa è uguale alla sua trasposta, e che il determinante di Q sia uguale a 1.
Per determinare l'asse di rotazione, dato che la matrice di rotazione ammette sempre l'autovalore 1, risolvo tale equazione:
Q$\vec u$=$\lambda$$\vec u$ per $\lambda$ = 1
e se tale $\vec u$ esiste, questo corrisponderà proprio all'asse di rotazione.
Quindi $((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0))$ $((x),(y),(z))$ = $((z),(x),(y))$ , dunque (1,1,1) è un punto dell'asse di rotazione.
Il vettore dell'asse di rotazione sarà $\vec u$ = $\vec e1$+$\vec e2$+$\vec e3$ .
Qui sorge il problema perchè negli esercizi abbiamo considerato solo i casi in cui $\vec u$= $\vec e1$ oppure $\vec e2$ o $\vec e3$ , quindi era facile determinare l'angolo di rotazione (dai seni e i coseni). Come posso trovare l'angolo di rotazione in Q? Devo trovare una matrice simile a Q per determinarlo facilmente?
Data una matrice Q= $((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0))$ (si ricordi che Q è la matrice di rotazione)
1) Dimostrare che Q è un tensore ortogonale proprio;
2) Qual è il suo asse di rotazione?
3) Qual è l'angolo di rotazione?
Per la prima risposta ho dimostrato che Q è ortogonale, cioè la sua inversa è uguale alla sua trasposta, e che il determinante di Q sia uguale a 1.
Per determinare l'asse di rotazione, dato che la matrice di rotazione ammette sempre l'autovalore 1, risolvo tale equazione:
Q$\vec u$=$\lambda$$\vec u$ per $\lambda$ = 1
e se tale $\vec u$ esiste, questo corrisponderà proprio all'asse di rotazione.
Quindi $((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0))$ $((x),(y),(z))$ = $((z),(x),(y))$ , dunque (1,1,1) è un punto dell'asse di rotazione.
Il vettore dell'asse di rotazione sarà $\vec u$ = $\vec e1$+$\vec e2$+$\vec e3$ .
Qui sorge il problema perchè negli esercizi abbiamo considerato solo i casi in cui $\vec u$= $\vec e1$ oppure $\vec e2$ o $\vec e3$ , quindi era facile determinare l'angolo di rotazione (dai seni e i coseni). Come posso trovare l'angolo di rotazione in Q? Devo trovare una matrice simile a Q per determinarlo facilmente?
Risposte
ti dico le prime cose che mi vengono in mente, prova a pensare se ha qualche senso.
1. non so aiutarti purtroppo.
supponendo che la matrice di rotazione che intendi sia tale che $Q=e^(M)$ (con M incognita), io farei così:
2. $Qvecn =vecn$, dove $vecn$ è l'asse di rotazione (asse invariante)
3. sai che deve essere $Tr Q = 1+2\varphi$ e quindi conosci l'angolo
1. non so aiutarti purtroppo.
supponendo che la matrice di rotazione che intendi sia tale che $Q=e^(M)$ (con M incognita), io farei così:
2. $Qvecn =vecn$, dove $vecn$ è l'asse di rotazione (asse invariante)
3. sai che deve essere $Tr Q = 1+2\varphi$ e quindi conosci l'angolo
"cooper":
3. sai che deve essere $Tr Q = 1+2\varphi$ e quindi conosci l'angolo
Bello, mi è piaciuto, ma secondo me è \(\mathrm{tr}(Q)=1+2\cos\varphi\).
ovviamente hai ragione. non so perchè io l'abbia pensato ma non l'abbia scritto. 
Il primo punto ti sta chiedendo di dimostrare che $Q$ appartiene al gruppo ortogonale $SO(3,\mathbb R)$. Questo è immediato dalla verifica che hai fatto. Se proprio vuoi mantenere la barocca notazione "tensore ortogonale proprio" per denotare gli elementi di $SO(3)$ puoi notare che
\[
Q = e_1\otimes e_3 + e_2 \otimes e_1 + e_3 \otimes e_2
\] e dedurre che $Q^{-1} = Q^t$ da come agisce la trasposizione sui tensori fondamentali (scambia gli indici) e da come il prodotto di matrici interagisce con il prodotto di Kronecker (vale $(A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)$).
\[
Q = e_1\otimes e_3 + e_2 \otimes e_1 + e_3 \otimes e_2
\] e dedurre che $Q^{-1} = Q^t$ da come agisce la trasposizione sui tensori fondamentali (scambia gli indici) e da come il prodotto di matrici interagisce con il prodotto di Kronecker (vale $(A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)$).
"killing_buddha":
Se proprio vuoi mantenere la barocca notazione "tensore ortogonale proprio"
Pure a me sembra una roba dell'Ottocento, forse in meccanica c'è gente che è più affezionata a questi arnesi del passato.
Comunque, con l'osservazione di cooper si prova subito che la traccia di una matrice di $SO(n)$ è al più uguale a $n$. Ma guarda un po' che roba
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