Determinazione della dimensione di un sottospazio vettoriale
ciao a tutti!!!
sto incontrando difficoltà con questo esercizio:
Si determini la dimensione del sottospazio vettoriale $U=VnnW$ di $RR^4$ ove
$V={(x,y,z,t)|x+y+z=0,x-t=0}, W={(x,y,z,t)|y+z+t=0, t=0}$
so che $dim(VnnW)=dimV+dimW-dim(V-W)$ ma il problema è che in questo esercizio non riesco a determinare la dimensione di $V$ e $W$...
potreste darmi qualche dritta
Vi ringrazio anticipatamente...
sto incontrando difficoltà con questo esercizio:
Si determini la dimensione del sottospazio vettoriale $U=VnnW$ di $RR^4$ ove
$V={(x,y,z,t)|x+y+z=0,x-t=0}, W={(x,y,z,t)|y+z+t=0, t=0}$
so che $dim(VnnW)=dimV+dimW-dim(V-W)$ ma il problema è che in questo esercizio non riesco a determinare la dimensione di $V$ e $W$...
potreste darmi qualche dritta
Vi ringrazio anticipatamente...
Risposte
In prima battuta: se hai due sottospazi vettoriali definiti per mezzo di equazioni cartesiane, come in questo caso, l'intersezione si ottiene unendo tutte le equazioni cartesiane. Epurando eventualmente l'unione di equazioni cartesiane da quelle superflue, nel caso dovessi ottenere equazioni linearmente dipendenti.
Esempio:
[tex]$U=\{(x,y,z,t)|\quad x=0\}$[/tex]
[tex]$V=\{(x,y,z,t)|\quad y=0\}$[/tex]
allora
[tex]$U\cap V=\{(x,y,z,t)|\quad x=0; y=0\}$[/tex]
Se comunque la tua difficoltà è determinare le dimensioni di [tex]$V$[/tex] e [tex]$U$[/tex], ti basta sapere che ogni equazione cartesiana diminuisce di 1 la dimensione dello spazio di partenza (cioè [tex]$\matbb{R}^4$[/tex]).
Questo purché le equazioni cartesiane siano linearmente indipendenti, cioè nessuna è eliminabile, come in questo caso.
Spero di esser stato chiaro, altrimenti chiedi.
Ciao.
Esempio:
[tex]$U=\{(x,y,z,t)|\quad x=0\}$[/tex]
[tex]$V=\{(x,y,z,t)|\quad y=0\}$[/tex]
allora
[tex]$U\cap V=\{(x,y,z,t)|\quad x=0; y=0\}$[/tex]
Se comunque la tua difficoltà è determinare le dimensioni di [tex]$V$[/tex] e [tex]$U$[/tex], ti basta sapere che ogni equazione cartesiana diminuisce di 1 la dimensione dello spazio di partenza (cioè [tex]$\matbb{R}^4$[/tex]).
Questo purché le equazioni cartesiane siano linearmente indipendenti, cioè nessuna è eliminabile, come in questo caso.
Spero di esser stato chiaro, altrimenti chiedi.
Ciao.
prima di tutto grazie della risposta...
ora vediamo se ho capito bene.
da quello che hai detto quindi l'intersezione sarebbe:
$VnnW={(x,y,z,t)| x+y+z=0, x-t=0, y+z+t=0, t=0}$
ora per vedere se le equazioni sono linearmente dipendenti mi basta metterle a sistema giusto?
Poi se non chiedo troppo potresti spiegarmi perchè ogni equazione cartesiana diminuisce di 1 la dimensione dello spazio di partenza, non mi piace fare le cose meccanicamente ma capirle
ora vediamo se ho capito bene.
da quello che hai detto quindi l'intersezione sarebbe:
$VnnW={(x,y,z,t)| x+y+z=0, x-t=0, y+z+t=0, t=0}$
ora per vedere se le equazioni sono linearmente dipendenti mi basta metterle a sistema giusto?
Poi se non chiedo troppo potresti spiegarmi perchè ogni equazione cartesiana diminuisce di 1 la dimensione dello spazio di partenza, non mi piace fare le cose meccanicamente ma capirle
Ciao!
Allora per determinare la dimensione degli spazi singolarmente, ad esempio nel tuo caso:
$V={(x,y,z,t)|x+y+z=0,x-t=0}$
basta creare la matrice dei componenti dei due vettori di V
quindi:
v= $((1,1),(1,0),(1,0),(0,-1))$
per trovare la dimensione basta calcolare il rango di questa matrice! (che è uguale a 2) quindi dimV=2
Devi fare lo stesso con W.
Per calcolarti la dimensione somma dei sottospazi (dim(V+W)) basta mettere insieme tutte i vettori sotto forma di matrice (come hai fatto per V) e calcolarti il rango della matrice (che sarà 4x4). Questo sarà uguale a 3. Quindi dim(V+W)=3
Per calcolare la dimensione del sottospazio V$nn$W devi risolvere l'equazione di Grassman che hai citato:
dim(V+W)=dimV+dimW-dimV$nn$W
quindi
dimV$nn$W=1
fammi sapere se ti è tutto chiaro!
Allora per determinare la dimensione degli spazi singolarmente, ad esempio nel tuo caso:
$V={(x,y,z,t)|x+y+z=0,x-t=0}$
basta creare la matrice dei componenti dei due vettori di V
quindi:
v= $((1,1),(1,0),(1,0),(0,-1))$
per trovare la dimensione basta calcolare il rango di questa matrice! (che è uguale a 2) quindi dimV=2
Devi fare lo stesso con W.
Per calcolarti la dimensione somma dei sottospazi (dim(V+W)) basta mettere insieme tutte i vettori sotto forma di matrice (come hai fatto per V) e calcolarti il rango della matrice (che sarà 4x4). Questo sarà uguale a 3. Quindi dim(V+W)=3
Per calcolare la dimensione del sottospazio V$nn$W devi risolvere l'equazione di Grassman che hai citato:
dim(V+W)=dimV+dimW-dimV$nn$W
quindi
dimV$nn$W=1
fammi sapere se ti è tutto chiaro!
ciao e grazie per avermi risposto, mi scuso per il ritardo nella risposta ma ho dei problemi con la connesione:(
ora inizia ad essere tutto più chiaro... grazie.
ora inizia ad essere tutto più chiaro... grazie.
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