Determinare un'applicazione lineare

[EveyH]

Ciao, dovrei determinare, se possibile:
a) un'applicazione lineare $F: RR^2 -> RR^3 | KerF =, ImF =$
b) un'applicazione lineare $F: RR^2 -> RR^4 | ImF$ abbia dimensione $1$
c) un'applicazione lineare non nulla $F: RR^3 -> RR^2 | (1,1) notin ImF$

Ora, per la a) ho rilevato che la prima riga della matrice trasposta associata all'applicazione rispetto alle basi canoniche dovrebbe essere:
1 -1 2
E questa sarebbe anche la prima colonna della matrice associata.
Non so come ricavare la seconda colonna (o riga che dir si voglia).
So anche che il ker è del tipo $(0,y,0)$
Come si svolgono questi esercizi?
E per b) e c)?
Grazie!

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Per intanto discuto il primo esercizio.

"EveyH":determinare, se possibile:
a) un'applicazione lineare $ F: RR^2 -> RR^3 | KerF =, ImF = $

Si sottointenda di esprimere vettori e matrici rispetto alle basi $E_2={e_1,e_2}$ di $RR^2$ e $E_3={e_1,e_2,e_3}$ di $RR^3$

Sia $A_F in M(3 xx 2;RR)$ la matrice da associare all'applicazione lineare $F$; siccome $KerF= $, data

$A_F=((a,b),(c,d),(e,f))$

si dovrà richiedere

$A_F*((0),(1))=((0),(0),(0)) Rightarrow ((a,b),(c,d),(e,f))*((0),(1))=((0),(0),(0)) Rightarrow ((b),(d),(f))=((0),(0),(0))$

quindi

$A_F=((a,0),(c,0),(e,0))$

Per quanto riguarda l'immagine, si calcola

$A_F*v=A_F*(xe_1+ye_2)=xA_F*e_1+yA_F*e_2=xA_F*e_1$ (perchè $e_2 in KerF$)

e si pone

$A_F*e_1=e_1-e_2+2e_3 Rightarrow ((a,0),(c,0),(e,0))*((1),(0))=((1),(0),(0))-((0),(1),(0))+2((0),(0),(1))$

da cui si ottiene

$((a),(c),(e))=((1),(-1),(2)) Rightarrow A_F=((1,0),(-1,0),(2,0))$

Quindi, un'applicazione lineare $F: RR^2 -> RR^3$ che soddisfi le ipotesi richieste, è definibile in questo modo:

$F(x,y)=(x,-x,2x)$

Saluti.