Determinare una matrice ortogonale
Salve a tutti, ho incontrato difficoltà in un esercizio svolto che consiste nel calcolare la base ortonormale a partire dagli autovettori di una matrice $A$ simmetrica $3x3$. Se $A$ è simmetrica, autovettori corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali. Poi prendo i vettori della base ortonormale e li metto come colonne della matrice ortogonale.
$B=(v_i,...v_j)$ è una base ortonormale di $V$ se il prodotto scalare tra $v_1$ e $v_j$ è uguale a $0$ ed il prodotto scalare di $v_i$ per se stesso è uguale ad $1$
Gli autovettori di $A$ sono:
$v=((1,1,3))$, $w=((0,1,2))$, $j=((-1,-2,1))$
$v$ e $w$ provengono dallo stesso autovalore; $c$ e $j$ provengono anche essi dallo stesso autovalore
Quindi calcolo il prodotto scalare tra $v$ e $w$, diviso la norma di $v$:
$((0,1,2))*(((1,1,3)))/sqrt(11)=7/sqrt(11)$
Inoltre $v$ diviso la sua norma è anche un vettore della base ortonormale.
Poi moltiplico questo risultato per il vettore $v$ diviso la norma: $7/sqrt(11)*(((1,1,3)))/sqrt(11)=(7,7,21)/11$
Poi calcolo $w-(((7,7,21)))/11=(0,1,2)-(((7,7,21)))/11=(-7/11,4/11,1/11)$
Se divido questo vettore $(-7/11,4/11,1/11)$ per la sua norma otterrei un altro vettore della base ortonormale.
Mentre per calcolare l'ultima base trovo calcolo semplicemente $j$ diviso la sua norma.
Non mi è chiaro perché si accetta come vettore della base $v$ diviso la sua norma, mentre per trovare l'altro vettore della base ortonormale devo sottrarre $w$ al prodotto scalare tra $v$ diviso la sua norma per il prodotto scalare tra $v$ e $w$.. Inoltre perché accetto $j$ diviso la sua norma come vettore della base ortonormale?
$B=(v_i,...v_j)$ è una base ortonormale di $V$ se il prodotto scalare tra $v_1$ e $v_j$ è uguale a $0$ ed il prodotto scalare di $v_i$ per se stesso è uguale ad $1$
Gli autovettori di $A$ sono:
$v=((1,1,3))$, $w=((0,1,2))$, $j=((-1,-2,1))$
$v$ e $w$ provengono dallo stesso autovalore; $c$ e $j$ provengono anche essi dallo stesso autovalore
Quindi calcolo il prodotto scalare tra $v$ e $w$, diviso la norma di $v$:
$((0,1,2))*(((1,1,3)))/sqrt(11)=7/sqrt(11)$
Inoltre $v$ diviso la sua norma è anche un vettore della base ortonormale.
Poi moltiplico questo risultato per il vettore $v$ diviso la norma: $7/sqrt(11)*(((1,1,3)))/sqrt(11)=(7,7,21)/11$
Poi calcolo $w-(((7,7,21)))/11=(0,1,2)-(((7,7,21)))/11=(-7/11,4/11,1/11)$
Se divido questo vettore $(-7/11,4/11,1/11)$ per la sua norma otterrei un altro vettore della base ortonormale.
Mentre per calcolare l'ultima base trovo calcolo semplicemente $j$ diviso la sua norma.
Non mi è chiaro perché si accetta come vettore della base $v$ diviso la sua norma, mentre per trovare l'altro vettore della base ortonormale devo sottrarre $w$ al prodotto scalare tra $v$ diviso la sua norma per il prodotto scalare tra $v$ e $w$.. Inoltre perché accetto $j$ diviso la sua norma come vettore della base ortonormale?
Risposte
4 autovettori che risultano da una matrice 3x3 ?
C'è qualcosa che non torna....
C'è qualcosa che non torna....
Uhm la matrice è questa:
$A=((-2,2,-1),(2,1,-2),(-1,-2,-2))$
L'esercizio chiede di verificare che $v=((1),(1),(3))$ e $w=((0),(1),(2))$ sono autovettori di $\lambda=3$; questo accade se $A\lambda=\lambdav$ e $A\lambda=\lambdaw$
Verifico la prima:
$((-2,2,-1),(2,1,-2),(-1,-2,-2))*((1),(1),(3))=((-3),(-3),(-9))$ verificata perché $-3((1),(1),(3))=((-3),(-3),(-9))$
Verifico la seconda:
$((-2,2,-1),(2,1,-2),(-1,-2,-2))*((0),(1),(2))=((0),(1),(2))=((0),(-3),(-6))$ verificata perché $-3((0),(1),(2))=((0),(-3),(-6))$
Il testo dell'esercizio mi dice che $P(t)=-(t+3)^2*(t-\lambda)$
So che $tr(A)=-3$ che è uguale alla somma degli autovalori quindi:
$-3-3+\lambda_3=-3$ da cui quindi $\lambda_3=3$
Sottraendo $\lambda$ sulla diagonale:
$((-5,2,-1),(2,-2,-2),(-1,-2,-5))$
Risolvo il sistema lineare omogeneo ed in effetti ottengo che $E_3(A)={\alpha(-1,-2,1)}$
Quindi sono 3 autovettori, grazie Quinzio
Però il problema rimane perché non capisco la logica con cui si calcolano i vettori della base ortonormale..
$A=((-2,2,-1),(2,1,-2),(-1,-2,-2))$
L'esercizio chiede di verificare che $v=((1),(1),(3))$ e $w=((0),(1),(2))$ sono autovettori di $\lambda=3$; questo accade se $A\lambda=\lambdav$ e $A\lambda=\lambdaw$
Verifico la prima:
$((-2,2,-1),(2,1,-2),(-1,-2,-2))*((1),(1),(3))=((-3),(-3),(-9))$ verificata perché $-3((1),(1),(3))=((-3),(-3),(-9))$
Verifico la seconda:
$((-2,2,-1),(2,1,-2),(-1,-2,-2))*((0),(1),(2))=((0),(1),(2))=((0),(-3),(-6))$ verificata perché $-3((0),(1),(2))=((0),(-3),(-6))$
Il testo dell'esercizio mi dice che $P(t)=-(t+3)^2*(t-\lambda)$
So che $tr(A)=-3$ che è uguale alla somma degli autovalori quindi:
$-3-3+\lambda_3=-3$ da cui quindi $\lambda_3=3$
Sottraendo $\lambda$ sulla diagonale:
$((-5,2,-1),(2,-2,-2),(-1,-2,-5))$
Risolvo il sistema lineare omogeneo ed in effetti ottengo che $E_3(A)={\alpha(-1,-2,1)}$
Quindi sono 3 autovettori, grazie Quinzio
Però il problema rimane perché non capisco la logica con cui si calcolano i vettori della base ortonormale..
Up! 
Avevi $v$ e $w$ che provenivano dallo stesso autospazio.
Hai trovato il terzo, $u$.
Come vedi i due autospazi sono ortogonali, cioè $ =0$ e $ =0$.
Adesso devo ortogonalizzare $v$ con $w$. Conosci Gram-Schmidt ?
Hai trovato il terzo, $u$.
Come vedi i due autospazi sono ortogonali, cioè $
Adesso devo ortogonalizzare $v$ con $w$. Conosci Gram-Schmidt ?
Si, quindi nell'esercizio svolto hanno applicato Gram-Schmidt per ortogonalizzare $v$ con $w$, mentre per le altre 2 basi bastano i vettori divisi per la norma?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo