Determinare una base per Ker e Im di una matrice A
Salve a breve dovrei avere lo scritto di Algebra e stavo facendo tutti gli esercizi del libro fin quando non mi sono imbattuto in questo:
Si consideri l'applicazione lineare A: R^4 ---> R^3
Data dalla matrice (scusate ma non so scriverla con la formattazione giusta)
....1 2 3 2
A= 2 -1 3 -4
....3 1 5 -1
Determinare una base per Ker(A), Im(A), Ker(Atrasposta) e Im(Atrasposta)
Ho prima fatto una riduzione a scala della matrice e ho notato che il rg(A)=3. Quindi siccome sono in R4 vuol dire che dimIm(A)=3 e dimKer(A)=1.
Ora il mio problema è determinare le basi di questi due sottospazi:
Avevo pensato di moltiplicare la matrice per il vettore colonna (x,y,z,t) così da ottenere un sistema lineare omogeneo di 3 equazioni in 4 incognite. Ed è proprio questo il problema. Il risultato dice che la base del ker è data dal vettore di coordinate (-3/5, -11/5, 1, 1) e a me non torna per niente.
Inoltre come faccio a trovare una base per l'Im ? e per le trasposte mi basta trasporre la matrice e rifare il procedimento adottato per Ker e Im ?
Speranzoso in voi, Grazie
PS ovviamente credo che le basi di riferimento siano quelle canoniche ! no?
PPS molto probabilmente avrò sbagliato a fare i calcoli ne sono convinto per quest chiedo una illustrazione dettagliata
Si consideri l'applicazione lineare A: R^4 ---> R^3
Data dalla matrice (scusate ma non so scriverla con la formattazione giusta)
....1 2 3 2
A= 2 -1 3 -4
....3 1 5 -1
Determinare una base per Ker(A), Im(A), Ker(Atrasposta) e Im(Atrasposta)
Ho prima fatto una riduzione a scala della matrice e ho notato che il rg(A)=3. Quindi siccome sono in R4 vuol dire che dimIm(A)=3 e dimKer(A)=1.
Ora il mio problema è determinare le basi di questi due sottospazi:
Avevo pensato di moltiplicare la matrice per il vettore colonna (x,y,z,t) così da ottenere un sistema lineare omogeneo di 3 equazioni in 4 incognite. Ed è proprio questo il problema. Il risultato dice che la base del ker è data dal vettore di coordinate (-3/5, -11/5, 1, 1) e a me non torna per niente.
Inoltre come faccio a trovare una base per l'Im ? e per le trasposte mi basta trasporre la matrice e rifare il procedimento adottato per Ker e Im ?
Speranzoso in voi, Grazie
PS ovviamente credo che le basi di riferimento siano quelle canoniche ! no?
PPS molto probabilmente avrò sbagliato a fare i calcoli ne sono convinto per quest chiedo una illustrazione dettagliata
Risposte
Se hai ridotto la matrice a scalini hai già una base di ImA (anche se non più rispetto alla base iniziale (la canonica immagino), visto che hai modificato la matrice originale). Forse è per lo stesso motivo che il Ker ti viene diverso! Ricorda che i vettori colonna della matrice sono i generatori di ImA. Prendi la matrice originale, il rango sai che è 3, dunque prendi come base di ImA 3 vettori colonna che formano un minore non nullo di ordine 3.
Per il Ker, risolvi il sistema omogeneo $Ax=0$ con la matrice nella forma originale e vedrai che ti viene tutto.
Paola
Per il Ker, risolvi il sistema omogeneo $Ax=0$ con la matrice nella forma originale e vedrai che ti viene tutto.
Paola
"prime_number":
Se hai ridotto la matrice a scalini hai già una base di ImA (anche se non più rispetto alla base iniziale (la canonica immagino), visto che hai modificato la matrice originale). Forse è per lo stesso motivo che il Ker ti viene diverso! Ricorda che i vettori colonna della matrice sono i generatori di ImA. Prendi la matrice originale, il rango sai che è 3, dunque prendi come base di ImA 3 vettori colonna che formano un minore non nullo di ordine 3.
Per il Ker, risolvi il sistema omogeneo $Ax=0$ con la matrice nella forma originale e vedrai che ti viene tutto.
Paola
Grazie mille e per i trasposti ?
Quindi una base dell'immagine sono 3 vettori colonna di A ? non ho capito bene con quale criterio devo scegliere il vettore colonna da scartare dato che mi è parso di capire che sono tutti e 3 linearmente indipendenti
grazie ancora
Inoltre avevo anche un altro dubbio:
Dato che la matrice rappresentativa (chiamiamola A) di una trasformazione lineare ha per colonne le coordinate dei vettori della nuova base (dello spazio di arrivo) rispetto alla vecchia base (spazio di partenza) come bisogna comportarsi nel caso di endomorfismi? o meglio quali sono i suoi elementi ? e, nel caso della diagonalizzazione, la matrice a cui sottraggo gli autovalori per ottenere le equazioni degli autospazi è sempre la nostra A ? quali sono i suoi elementi?
Dato che la matrice rappresentativa (chiamiamola A) di una trasformazione lineare ha per colonne le coordinate dei vettori della nuova base (dello spazio di arrivo) rispetto alla vecchia base (spazio di partenza) come bisogna comportarsi nel caso di endomorfismi? o meglio quali sono i suoi elementi ? e, nel caso della diagonalizzazione, la matrice a cui sottraggo gli autovalori per ottenere le equazioni degli autospazi è sempre la nostra A ? quali sono i suoi elementi?
up
Vi prego aiuto XD Up!
Va bene fare un sistema lineare per trovare il $Ker(A)$.
Se scrivi i passaggi ci si da un'occhiata.
Se scrivi i passaggi ci si da un'occhiata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo