Determinare una base ortonormale del sottospazio di C4
Salve,
ho un esercizio che non riesco a capire bene come svolgerlo. Il testo dice questo:
[size=150]Determinare una base ortonormale del sottospazio di \(\displaystyle C^4 \)tale che
\(\displaystyle W = ((x − iy, z, x + y − z, y + iz)|x, y, z \in R) \)[/size]
Quello che ho capito negli esercizi delle basi ortonormali è che devo trovare dei vettori linearmente indipendenti e successivamente ortogonalizzarli e infine normalizzarli.
Ora mi chiedo come posso trovare dei vettori in \(\displaystyle C^4 \) con quel \(\displaystyle W \) definito?
Mi da noi il fatto che siano 4 equazioni e tre incognite in \(\displaystyle W \) !
Qualcuno mi può aiutare???
Grazie in anticipo!
ho un esercizio che non riesco a capire bene come svolgerlo. Il testo dice questo:
[size=150]Determinare una base ortonormale del sottospazio di \(\displaystyle C^4 \)tale che
\(\displaystyle W = ((x − iy, z, x + y − z, y + iz)|x, y, z \in R) \)[/size]
Quello che ho capito negli esercizi delle basi ortonormali è che devo trovare dei vettori linearmente indipendenti e successivamente ortogonalizzarli e infine normalizzarli.
Ora mi chiedo come posso trovare dei vettori in \(\displaystyle C^4 \) con quel \(\displaystyle W \) definito?
Mi da noi il fatto che siano 4 equazioni e tre incognite in \(\displaystyle W \) !
Qualcuno mi può aiutare???
Grazie in anticipo!
Risposte
Esercizio correttamente risolto nel seguente modo:
Devo trovare i vettori del sottospazio W. Allora considero:
\(\displaystyle W=((x−iy,z,x+y−z,y+iz)|x,y,z \in R)=((x,0,x,0)+(-iy,0,y,y)+(0,z,-z,+iz)|x,y,z \in R])=
(x(1,0,1,0)+y(i,0,1,1)+z(0,1,-1,i)|x,y,z \in R)=<(1,0,1,0),(i,0,1,1),(0,1,-1,i)> \)
Questi sono i tre vettori, bisogna verificare che siano lin. indipendenti. Nel caso non lo fossero elimino quello dipendente e lo sostituisco con uno indipendente perchè il sottospazio ha dimensione 3.
Poi posso ortogonallizzare e infine normalizzare.
Un saluto a tutti!
Devo trovare i vettori del sottospazio W. Allora considero:
\(\displaystyle W=((x−iy,z,x+y−z,y+iz)|x,y,z \in R)=((x,0,x,0)+(-iy,0,y,y)+(0,z,-z,+iz)|x,y,z \in R])=
(x(1,0,1,0)+y(i,0,1,1)+z(0,1,-1,i)|x,y,z \in R)=<(1,0,1,0),(i,0,1,1),(0,1,-1,i)> \)
Questi sono i tre vettori, bisogna verificare che siano lin. indipendenti. Nel caso non lo fossero elimino quello dipendente e lo sostituisco con uno indipendente perchè il sottospazio ha dimensione 3.
Poi posso ortogonallizzare e infine normalizzare.
Un saluto a tutti!
La matrice associata mi viene $ ( (1,-i,0,0) , (0,0,1,0) , (1,1,-1,0) , (0,1,i,0) ) $
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