Determinare una base e la dimensione di $UnnW$
Siano U=L($(1,0,-1,0),(0,0,2,-1),(3,0,1,-2)$) e W=L($(1,2,0,1),(3,4,3,0)$) due sottospazi
Determinare una base e la dimensione di $UnnW$
Ho calcolato $B_U=$[$(1,0,-1,0),(0,0,2,-1)$] con $dimU=2$
e $B_W=$[$(1,2,0,1),(3,4,3,0)$] con $dimW=2$
ed anche $B_(U+W)=$[$(1,0,-1,0),(0,0,2,-1),(1,2,0,1),(3,4,3,0)$] con $dimU+W=3$
a questo punto so che $dimUnnW=dimU+dimW- dimU+W=1$,
ma come faccio a trovare la base di $UnnW$?
Determinare una base e la dimensione di $UnnW$
Ho calcolato $B_U=$[$(1,0,-1,0),(0,0,2,-1)$] con $dimU=2$
e $B_W=$[$(1,2,0,1),(3,4,3,0)$] con $dimW=2$
ed anche $B_(U+W)=$[$(1,0,-1,0),(0,0,2,-1),(1,2,0,1),(3,4,3,0)$] con $dimU+W=3$
a questo punto so che $dimUnnW=dimU+dimW- dimU+W=1$,
ma come faccio a trovare la base di $UnnW$?
Risposte
Se non ricordo male, quando si trattava di trovare la base dell'intersezione di due sottospazi, io trovavo prima le equazioni di U, poi le equazioni di W, e facevo il sistema formato da tutte le equazioni. Dal'insieme delle soluzioni ricavavo la base.
Potresti spiegarti meglio?
Devi trasformare uno dei 2 sottospazi in forma parametrica, ossia quella
$x+y=t, z-x = 0$ e così via (non chiedermi come si fa).
Dopodichè prendi il generico vettore del secondo sottospazio e lo eguagli alle componenti delle equazioni del primo.
Risolto il sistema, avrai la base dell'unione che cerchi.
$x+y=t, z-x = 0$ e così via (non chiedermi come si fa).
Dopodichè prendi il generico vettore del secondo sottospazio e lo eguagli alle componenti delle equazioni del primo.
Risolto il sistema, avrai la base dell'unione che cerchi.
per trovare una base dell'intersezione si procede in questo modo:
si trovano le basi dei sottospazi in questione, poi si metto in una matrice tali vettori scrivendoli per colonna, si riduce a scala, e si scopre che i pivot cioè gli elementi non nulli seguendo la "diagonale" della matrice sono una base per U+V mentre per trovare una base del nucleo di A che corrisponde a trovare una base di U∩V so risolve all'indietro la matrice ridotta a scala S.
ti verrà una soluzione del tipo
$ ((a),(b),(c),(d))$, ovviamente parametri dipendenti da una o due incognite. A questo punto hai trovato il vettore dei coefficienti della combinazione lineare, ovvero i coefficienti della combinazione lineare che esprimono il generico vettore dell'intersezione, ovvero se hai messo prima i vettori di V e poi quelli di W le prime v righe sono i coefficienti della combinazione lineare dei vettori di V che ti danno il vettore dell'intersezione.
In pratica ti metti i vettori che hai trovato in colonna, riduci a scalini e risolvi il sistema lineare che ti viene fuori, e quello che ottieni è il vettore, che ha 4 coordinate in questo caso, in cui le prime due sono le coordinate dei vettori della base di V che esprimono il vettore generico della intersezione e le altre sono le coordinate dei vettori di W che esprimono lo stesso vettore.
si trovano le basi dei sottospazi in questione, poi si metto in una matrice tali vettori scrivendoli per colonna, si riduce a scala, e si scopre che i pivot cioè gli elementi non nulli seguendo la "diagonale" della matrice sono una base per U+V mentre per trovare una base del nucleo di A che corrisponde a trovare una base di U∩V so risolve all'indietro la matrice ridotta a scala S.
ti verrà una soluzione del tipo
$ ((a),(b),(c),(d))$, ovviamente parametri dipendenti da una o due incognite. A questo punto hai trovato il vettore dei coefficienti della combinazione lineare, ovvero i coefficienti della combinazione lineare che esprimono il generico vettore dell'intersezione, ovvero se hai messo prima i vettori di V e poi quelli di W le prime v righe sono i coefficienti della combinazione lineare dei vettori di V che ti danno il vettore dell'intersezione.
In pratica ti metti i vettori che hai trovato in colonna, riduci a scalini e risolvi il sistema lineare che ti viene fuori, e quello che ottieni è il vettore, che ha 4 coordinate in questo caso, in cui le prime due sono le coordinate dei vettori della base di V che esprimono il vettore generico della intersezione e le altre sono le coordinate dei vettori di W che esprimono lo stesso vettore.
Salve a tutti...
mi potreste aiutare in qst esercizio??
Per trovare una base dello spazio intersezione ImLa e Span(u,v) con u=(-1,0,2) v=(0,2,2) e ImLa=Span(1,0,2) (-1,1,1) (0,-1,-3) ho svolto il sistema lineare ponendo x1i1+x2i2+x3i3=x4u+x5v dove i1,i2 e i3 sono i vettori dell'immagine di La.
Risolvendo il sistema ho trovato x1=t+s x2t+2s x3=t x4=x5=s però non so quali sono ora i vettori della base per l'intersezione!! grazie mille
mi potreste aiutare in qst esercizio??
Per trovare una base dello spazio intersezione ImLa e Span(u,v) con u=(-1,0,2) v=(0,2,2) e ImLa=Span(1,0,2) (-1,1,1) (0,-1,-3) ho svolto il sistema lineare ponendo x1i1+x2i2+x3i3=x4u+x5v dove i1,i2 e i3 sono i vettori dell'immagine di La.
Risolvendo il sistema ho trovato x1=t+s x2t+2s x3=t x4=x5=s però non so quali sono ora i vettori della base per l'intersezione!! grazie mille
"Zkeggia":
per trovare una base dell'intersezione si procede in questo modo:
si trovano le basi dei sottospazi in questione, poi si metto in una matrice tali vettori scrivendoli per colonna, si riduce a scala, e si scopre che i pivot cioè gli elementi non nulli seguendo la "diagonale" della matrice sono una base per U+V
Quindi riferendoci all' esercizio postato da innersmile, la matrice da ridurre a scala è questa:
$ ( ( 1 , 0, -1 , 0),( 0, 0, 2, -1),( 1, 2, 0, 1),( 3, 4, 3, 0) ) $ e si ottiene infine: $ ( ( 1 , 0, -1 , 0),( 0, 2, 1,1),( 0, 0, 2, -1),( 0, 0, 0, 0) ) $
quindi la base della somma dei due sottospazi è $ B'=\{ ( 1 , 0, -1 , 0),( 0, 2, 1,1), ( 0, 0, 2, -1) \} $
esatto fin qui?
edit: scusate mi sono appena accorto che è vecchissima questa discussione, ma interessa anche a me l' argomento
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo