Determinare una base di autovettori
Sia un endomorfismo [tex]f:R^3->R^3[/tex] associato rispetto alle basi canoniche alla matrice:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
2&-1 &0 \\
-1&1 &2
\end{pmatrix}[/tex]
Studiare la semplicità di f ed eventualmente determinare una base di autovettori.
Allora intanto mi pare che si debba verificare che il determinante della matrice sia diverso da 0, e se non erro risulta -6.
Poi cerco il polinomio caratteristico ed ottengo:
[tex]x^3-2x^2-3x+6[/tex] che ha come soluzioni e quindi come radici:
[tex]x=2,-\sqrt{3},\sqrt{3}[/tex]
A questo punto devo verificare per ognuno che [tex]g_x=m_x[/tex] cioè che la molteplicità geometrica sia uguale a quella algebrica.
Per i valori sotto radice non si verifica, almeno secondo i miei calcoli.
Invece si verifica per [tex]x=2[/tex] quindi in questo caso è ammessa una base di autovettori e vado a daeterminarla:
Qui sono più incerto......
Ho che [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] appartiene a [tex]V_2[/tex] solo se:
[tex]\begin{vmatrix}
1 &1 &0 \\
2&-1 &0 \\
-1&1&2
\end{vmatrix}\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\end{pmatrix}[/tex]
Il sistema associato però mi verrebbe:
[tex]\left\{\begin{matrix}
-x_1+x_2=0\\
2x_1-3x_2=0\\
-x_1+x_2=0\end{matrix}\right.[/tex]
E alla fine otterrei come soluzioni:
[tex](0,x_1,0)[/tex] per ogni [tex]x_1[/tex]
Allora una base dell' endomorfismo dovrebbe essere [tex]D={(0,1,0)}[/tex]
Ma sono parecchio dubbioso su questi ultimi conti, come va?
[tex]\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
2&-1 &0 \\
-1&1 &2
\end{pmatrix}[/tex]
Studiare la semplicità di f ed eventualmente determinare una base di autovettori.
Allora intanto mi pare che si debba verificare che il determinante della matrice sia diverso da 0, e se non erro risulta -6.
Poi cerco il polinomio caratteristico ed ottengo:
[tex]x^3-2x^2-3x+6[/tex] che ha come soluzioni e quindi come radici:
[tex]x=2,-\sqrt{3},\sqrt{3}[/tex]
A questo punto devo verificare per ognuno che [tex]g_x=m_x[/tex] cioè che la molteplicità geometrica sia uguale a quella algebrica.
Per i valori sotto radice non si verifica, almeno secondo i miei calcoli.
Invece si verifica per [tex]x=2[/tex] quindi in questo caso è ammessa una base di autovettori e vado a daeterminarla:
Qui sono più incerto......
Ho che [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] appartiene a [tex]V_2[/tex] solo se:
[tex]\begin{vmatrix}
1 &1 &0 \\
2&-1 &0 \\
-1&1&2
\end{vmatrix}\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\end{pmatrix}[/tex]
Il sistema associato però mi verrebbe:
[tex]\left\{\begin{matrix}
-x_1+x_2=0\\
2x_1-3x_2=0\\
-x_1+x_2=0\end{matrix}\right.[/tex]
E alla fine otterrei come soluzioni:
[tex](0,x_1,0)[/tex] per ogni [tex]x_1[/tex]
Allora una base dell' endomorfismo dovrebbe essere [tex]D={(0,1,0)}[/tex]
Ma sono parecchio dubbioso su questi ultimi conti, come va?
Risposte
Sbagli dall'inizio, se il polinomio caratteristico di una matrice 3x3 ha 3 radici distinte, allora automaticamente la matrice è diagonalizzabile, quindi è impossibile che tu ottenga che la molteplicità geometrica delle radici $pmsqrt(3)$ è $0$, infatti è vero che $0
Allora per esempio per [tex]x=\sqrt{3}[/tex] avrei:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
2&-1 &0 \\
1&1 &2
\end{pmatrix}-\sqrt{3}\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0&1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}[/tex]
Giusto?
Dovrei ottenere:
[tex]\begin{pmatrix}
1-\sqrt{3} &1 &0 \\
2&-1-\sqrt{3} &0 \\
1&1 &2-\sqrt{3}
\end{pmatrix}[/tex]
Non l' ho ridotta ma mi è sembrato che il rango fosse 3, quindi se considero che l' endomorfismo è in R3 dovrei avere che la molteplicità geometrica è 0 quindi non è semplice, dove sbaglio?
La matrice l' ho ottenuta semplicemente aggiungendo [tex]\sqrt{3}[/tex] agli elementi corrispondenti alla matrice identica.
[tex]\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
2&-1 &0 \\
1&1 &2
\end{pmatrix}-\sqrt{3}\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0&1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}[/tex]
Giusto?
Dovrei ottenere:
[tex]\begin{pmatrix}
1-\sqrt{3} &1 &0 \\
2&-1-\sqrt{3} &0 \\
1&1 &2-\sqrt{3}
\end{pmatrix}[/tex]
Non l' ho ridotta ma mi è sembrato che il rango fosse 3, quindi se considero che l' endomorfismo è in R3 dovrei avere che la molteplicità geometrica è 0 quindi non è semplice, dove sbaglio?
La matrice l' ho ottenuta semplicemente aggiungendo [tex]\sqrt{3}[/tex] agli elementi corrispondenti alla matrice identica.
Ma ci hai provato almeno a calcolarlo il determinante? Fidati che o il rango di quella matrice è $2$ o hai sbagliato i conti prima e quello non è un autovalore (io sono più per la prima). Tra l'altro non ci vuole nemmeno tanto a ridurla a gradini..
Bò...non ho le idee molto chiare, provando a calcolare la base di autovettori per radice di 3 ottengo un sistema strano:
[tex]\left\{\begin{matrix}
(1-\sqrt{3})x_1+x_2=0\\
2x_1+(-1-\sqrt{3})x_2=0\\
-x_1+x_2+(2-\sqrt{3})x_3=0\end{matrix}\right.[/tex]
Ma in ogni caso avendo rango due la matrice otterrei infinito alla 1 soluzioni giusto?
[tex](-\frac{x_2}{1-\sqrt{3}},0,\frac{1}{x_2})[/tex]
A me verrebbe così..
[tex]\left\{\begin{matrix}
(1-\sqrt{3})x_1+x_2=0\\
2x_1+(-1-\sqrt{3})x_2=0\\
-x_1+x_2+(2-\sqrt{3})x_3=0\end{matrix}\right.[/tex]
Ma in ogni caso avendo rango due la matrice otterrei infinito alla 1 soluzioni giusto?
[tex](-\frac{x_2}{1-\sqrt{3}},0,\frac{1}{x_2})[/tex]
A me verrebbe così..
La base di autovettori la devi tirar fuori da tutti gli autovalori, non da 1 solo! Così ti trovi un autovettore, e può darsi che sia quello ma non ho tempo di controllare, gli altri due che vanno a comporre la base lì devi ricavare dallo stesso sistema con gli altri 2 autovalori. Capito un po' meglio?
Ah si si era per capire....ok, allora risolvo gli altri due e poi dico l' endomorfismo ammette tale base di autovettori, dove li elenco tutti.
Solo due cortesie
1)Uno, più o meno avevo capito come fare per la base di autovettori, ma se mi si chiede di determinare una base di autovalori cosa devo fare di diverso?
2)Potresti dare un' occhiata se vuoi, a questo quesito di geometria?
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 77747.html
Ti ringrazio tanto.
Solo due cortesie
1)Uno, più o meno avevo capito come fare per la base di autovettori, ma se mi si chiede di determinare una base di autovalori cosa devo fare di diverso?
2)Potresti dare un' occhiata se vuoi, a questo quesito di geometria?
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 77747.html
Ti ringrazio tanto.
una base di autovaloriAndare a studiare la teoria e poi rispondere a:
[list=1][*:7733969h] Che cos'è un autovalore? [/*:m:7733969h][*:7733969h]Di cosa è fatta una base? [/*:m:7733969h][*:7733969h]Può mai esistere una base fatta di autovalori?[/*:m:7733969h][/list:o:7733969h]
Andare a studiare la teoria e poi rispondere a:
Hai ragione.....
E' un errore di stampa di un vecchio compito, visto che hai risposto, avrei una seconda cosa.....quando in un endomorfismo mi si chiede di determinare kerf e imf mi so comportare, ma se mi si chiede di determinare le equazioni esattamente che devo fare?
Quando parliamo di spazi vettoriali solitamente mi si danno i vettori, io li inserisco nella matrice, moltiplico per x,y,z e trovo l' equazione.
Qui è la stessa cosa? Cosa dovrei fare esattamente?
Grazie.
Non si capisce la domanda.
Che cosa intendi con "determinare le equazioni"? Cioè: quali sono tipicamente i dati che ti sono forniti, e qual è la cosa che ti è richiesta?
Che cosa intendi con "determinare le equazioni"? Cioè: quali sono tipicamente i dati che ti sono forniti, e qual è la cosa che ti è richiesta?
Io ho la legge dell' endomorfismo.....cioè f(x,y,z)=...........
Dopo aver trovato kerf e imf al variare del parametro h, mi si chiede di determinare le loro equazioni. Forse basta che dopo aver trovato una base di Kerf, e l' immagine metto i vettori nella matrice e li pongo uguali a x,y,z.
Dopo aver trovato kerf e imf al variare del parametro h, mi si chiede di determinare le loro equazioni. Forse basta che dopo aver trovato una base di Kerf, e l' immagine metto i vettori nella matrice e li pongo uguali a x,y,z.
No, non è comunque chiaro. Perché se ti chiedono le equazioni cartesiane, ci sono alcuni passaggi da fare. Se invece vanno bene anche quelle parametriche, allora è molto facile. Però bisogna capire quale delle due sia.
Non saprei.....l' esercizio è qui:
Pag. 36 n.1
C' è l'errore della parola autovalori al posto di autovettori e chiede di determinare le equazioni di Kerf e Imf.
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... emente.pdf
Pag. 36 n.1
C' è l'errore della parola autovalori al posto di autovettori e chiede di determinare le equazioni di Kerf e Imf.
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... emente.pdf
Eh... non è proprio chiaro...
Comunque sia per le equazioni parametriche è davvero stupido. Per prima cosa ti calcoli una base del sottospazio in questione e poi scrivi semplicemente la generica combinazione lineare degli elementi della base!
Quelle cartesiane sono un po' più lunghe. Ma io conosco solo un metodo per farlo e non sono proprio sicuro che sia quello computazionalmente più efficace (anche se credo di sì)... Se vuoi posso provare ad illustrartelo...
Comunque sia per le equazioni parametriche è davvero stupido. Per prima cosa ti calcoli una base del sottospazio in questione e poi scrivi semplicemente la generica combinazione lineare degli elementi della base!
Quelle cartesiane sono un po' più lunghe. Ma io conosco solo un metodo per farlo e non sono proprio sicuro che sia quello computazionalmente più efficace (anche se credo di sì)... Se vuoi posso provare ad illustrartelo...
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