Determinare una base del radicale di una matrice

[Zkeggia]

Salve, ho un problema con le matrici associate ai prodotti scalari. Il fatto è che se mi dicono la base di V su cui si costruisce la matrice associata al prodotto scalare non ho problemi a trovare basi del radicale ecc ecc. Il problema è che ci hanno dato un esercizio di questo tipo:

Si consideri $<,>$ il prodotto scalare su $RR^4$ dato da $<(v,w)> = ^tvAw$, dove A è la seguente matrice:

$A = [(1,1,1,0),(1,1,1,0),(1,1,-2,3),(0,0,3,-3)] $

Determinare una base del radicale e calcolare la segnatura del prodotto scalare.

Per calcolare la segnatura non ci sono problemi, basta guardare il nucleo della matrice associata, però come trovo una base del radicale senza avere una base di V? posso supporre che il prodotto scalare sia costruito sulla base standard di V?

[gugo82]

Credo che si stia usando la base canonica di $RR^4$, altrimenti il testo dell'esercizio avrebbe specificato la base in cui $\langle \cdot, \cdot \rangle$ è rappresentato da $A$.

[Zkeggia]

ah ok perfetto, quindi mi confermi che se non mi danno una base di partenza, sono bloccato per quanto riguarda il trovare una base del radicale o simili. Grazie.

[gugo82]

La mia era una annotazione di carattere generale: di solito quando in $RR^n$ non si specifica la base in cui sono rappresentati gli oggetti (vettori, endomorfismi, forme bilineari, etc...) si sottointende che la base sia quella canonica.
Ad ogni modo, io non chiamerei prodotto scalare la forma bilineare definita da $A$ (in qualsiasi base) perchè tale forma non è definita positiva: infatti $A$ ha due autovalori nulli.

Credo che per radicale tu intenda l'insieme $N:=\{v\in RR^4: AAu \in RR^4 ,\langle u,v\rangle =0\}$.
Mi pare che in realtà non ci siano problemi a determinare una base di $N$ in ogni caso: puoi procedere così.
Chiama $B=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ la base di $RR^4$ in cui $\langle \cdot, \cdot \rangle $ è rappresentato da $A$ e chiama $(x,y,z,t)$ le coordinate del generico vettore $v\in RR^4$ espresse in $B$ (di modo che $v=x*b_1+y*b_2+z*b_3+t*b_4$); si ha $v\in N$ se e solo se le coordinate di $v$ risolvono il sistema omogeneo associato ad $A$, ossia se:

$((1, 1, 1, 0),(1, 1, 1, 0),(1, 1, -2, 3),(0, 0, 3, -3))*((x),(y),(z),(t))=((0),(0),(0),(0))\quad \Leftrightarrow \quad \{(x+y+z=0),(3z-3t=0):}$;

si vede facilmente che $(x,y,z,t)$ è soluzione del sistema se e solo se è del tipo $(x,y,-x-y,-x-y)$, perciò hai:

$v\in N \quad \Leftrightarrow \quad v=x*b_1+y*b_2+(-x-y)*b_3+(-x-y)*b_4=x*(b_1-b_3-b_4)+y*(b_2-b_3-b_4)$

con i vettori $b_1-b_3-b_4,b_2-b_3-b_4$ linearmente indipendenti.
Ne consegue che $B_N:=\{ b_1-b_3-b_4,b_2-b_3-b_4\}$ è un sistema di generatori indipendenti di $N$, ossia $B_N$ è una base per $N$.
A questo punto hai determinato una base del radicale $N$ in funzione dei vettori della base $B$ scelta per $RR^4$ e quindi non ti interessa più di tanto sapere quale sia effettivamente $B$.