Determinare una base
Da dove posso iniziare nello svolgere questo esercizio? Non ho idea di come fare 
Nello spazio R4[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a quattro, si consideri il sottoinsieme
Xh ={p(x)∈R4[x]| p(1)=0, p(0)=h(3−h)},
con h parametro reale.
a) Nel caso h = 3, si determini una base del sottospazio X3.
b) Si completi la base di X3 trovata al punto a) ad una base di R4[x].
c) Si determinino i valori di h per cui il sottoinsieme Xh `e un sottospazio di R4[x].
Nello spazio R4[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a quattro, si consideri il sottoinsieme
Xh ={p(x)∈R4[x]| p(1)=0, p(0)=h(3−h)},
con h parametro reale.
a) Nel caso h = 3, si determini una base del sottospazio X3.
b) Si completi la base di X3 trovata al punto a) ad una base di R4[x].
c) Si determinino i valori di h per cui il sottoinsieme Xh `e un sottospazio di R4[x].
Risposte
ciao,
partiamo da come è definito $X_h$. I polinomi che appartengono a questo insieme soddisfano quelle due uguaglianze, che per $h=3$ diventano $p(1)=0, p(0)=0$. Per me $p=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.
Imponi (metti a sistema) queste due uguaglianze e ti ricaverai delle condizioni su $a,b,c,d,e$.
Ora sfrutta il fatto che $RR^4[X]$ è isomorfo $RR^5$, tramite l'applicazione $varphi$ che ad un polinomio associa il vettore che ha per componenti i coefficienti del polinomio. In questo modo ti è più facile lavorare.
Dato che hai trovato un sottospazio di $RR^5$, puoi completarlo a una base di $RR^5$, risponendo così anche a b).
Per c) come faresti?
partiamo da come è definito $X_h$. I polinomi che appartengono a questo insieme soddisfano quelle due uguaglianze, che per $h=3$ diventano $p(1)=0, p(0)=0$. Per me $p=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.
Imponi (metti a sistema) queste due uguaglianze e ti ricaverai delle condizioni su $a,b,c,d,e$.
Ora sfrutta il fatto che $RR^4[X]$ è isomorfo $RR^5$, tramite l'applicazione $varphi$ che ad un polinomio associa il vettore che ha per componenti i coefficienti del polinomio. In questo modo ti è più facile lavorare.
Dato che hai trovato un sottospazio di $RR^5$, puoi completarlo a una base di $RR^5$, risponendo così anche a b).
Per c) come faresti?
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