Determinare un vertice del parallelogramma
Salve ragazzi, mentre svolgevo il seguente esercizio ho incontrato dei problemi, vi espongo il testo:
Dato il punto A(0,1,2) e la retta $r={(x=2t+3),(y=-t-1),(z=t):}$, determinare il piano $\pi$ passante per A ed ortogonale ad r.
Sia C(0,0,1) $in$ $\pi$, posto B=r $nn$ $\pi$ determinare un punto D tale che BADC siano nell' ordine i vertici consecutivi di un parallelogramma.
Non ho avuto alcun problema a determinare il piano $\pi$ e dopodichè ho trovato il punto B(1,0,-1).
Invece per determinare D
(mi riferisco a questo disegnino:)
pensavo di sfruttare il fatto che la retta passante per i punti A e D è parallela a quella passante per C e B, e quella passante per A e B è parallela a quella per C e D, dopodichè intersecando le due rette ottenute dovrei trovare D.
Ad esempio: la retta per i punti C e B è:
$r'={(x=1-1t),(y=0),(z=-1+2t):}$
quindi una retta r'' parallela a r' sarà:
$r'={(x=1-1kt),(y=0),(z=-1+2kt):}$
imponendo che questa retta passi per A(0,1,2) dovrei poi ricavarmi k per trovare la retta r'' ma andando a sostituire ottengo:
$r''={(0=1-1kt),(1=0),(z=-1+2kt):}$
quindi questo sistema è incompatibile...dove ho sbagliato?
L' analogo problema si presenta se ragiono con la retta per i punti A e B.
Aspetto i vostri consigli.Grazie mille!
Dato il punto A(0,1,2) e la retta $r={(x=2t+3),(y=-t-1),(z=t):}$, determinare il piano $\pi$ passante per A ed ortogonale ad r.
Sia C(0,0,1) $in$ $\pi$, posto B=r $nn$ $\pi$ determinare un punto D tale che BADC siano nell' ordine i vertici consecutivi di un parallelogramma.
Non ho avuto alcun problema a determinare il piano $\pi$ e dopodichè ho trovato il punto B(1,0,-1).
Invece per determinare D
(mi riferisco a questo disegnino:)
pensavo di sfruttare il fatto che la retta passante per i punti A e D è parallela a quella passante per C e B, e quella passante per A e B è parallela a quella per C e D, dopodichè intersecando le due rette ottenute dovrei trovare D.
Ad esempio: la retta per i punti C e B è:
$r'={(x=1-1t),(y=0),(z=-1+2t):}$
quindi una retta r'' parallela a r' sarà:
$r'={(x=1-1kt),(y=0),(z=-1+2kt):}$
imponendo che questa retta passi per A(0,1,2) dovrei poi ricavarmi k per trovare la retta r'' ma andando a sostituire ottengo:
$r''={(0=1-1kt),(1=0),(z=-1+2kt):}$
quindi questo sistema è incompatibile...dove ho sbagliato?
L' analogo problema si presenta se ragiono con la retta per i punti A e B.
Aspetto i vostri consigli.Grazie mille!
Risposte
tutti i tuoi ragionamenti e calcoli sono corretti fino a quando tenti di determinare la retta $r''$.
devi ricordare che una retta scritta in forma parametrica, ad esempio:
$\{(x=a+\alpha\lambda),(y=b+\beta\lambda),(z=c+\gamma\lambda):}$
$[\alpha,\beta,\gamma]$ è il vettore dei pametri direttori e $(a,b,c)$ è un punto della retta
tornando al tuo esercizio, tu hai scritto:
i parametri direttori di $r'$ sono $[-1,0,2]$ e $r'$ passa per il punto $B(1,0,-1)$
i parametri direttori di $r''$ sono $[-k,0,2k]$ e $r''$ passa per il punto $B(1,0,-1)$
come vedi i parametri direttori sono tra loro proporzionali (quindi le rette sono parallele), ma hai detto che passano per lo stesso punto quindi in pratica sono 2 rette coincidenti.
in realta la retta $r''$, cioe la retta che passa per i punti $A$ e $D$ è immediata da trovare in forma parametrica:
i parametri direttori sono gli stessi di $r'$ (cioe la retta per $B$ e $C$) e un punto di passaggio sara $A$.
quindi retta$AD : \{(x=\lambda),(y=1),(z=2-2\lambda):}$
ragionando in modo analogo trovi la retta $CD : \{(x=\mu),(y=-\mu),(z=1-3\mu):}$
(dato che dobbiamo intersecare le 2 rette è in generale necessario scrivere il parametro con una lettera diversa per ogni retta)
per trovare il punto $D$ infatti basta intersecare le 2 rette:
$\{(\lambda=\mu),(1=-\mu),(2-2\lambda=1-3\mu):}$
ora dalle prime 2 equazioni si ricava che: $\{(\lambda=-1),(\mu=-1):}$ che sostituiti nella 3ª equazione danno un'identita (il che ci dice che le 2 rette si intersecano)
per trovare le coordinate del punto $D$ bastera sostituire il valore di $\lambda$ (o di $\mu$) nella retta $AD$ (o nella retta $CD$) e ottieni:
$D(-1,1,4)$
devi ricordare che una retta scritta in forma parametrica, ad esempio:
$\{(x=a+\alpha\lambda),(y=b+\beta\lambda),(z=c+\gamma\lambda):}$
$[\alpha,\beta,\gamma]$ è il vettore dei pametri direttori e $(a,b,c)$ è un punto della retta
tornando al tuo esercizio, tu hai scritto:
i parametri direttori di $r'$ sono $[-1,0,2]$ e $r'$ passa per il punto $B(1,0,-1)$
i parametri direttori di $r''$ sono $[-k,0,2k]$ e $r''$ passa per il punto $B(1,0,-1)$
come vedi i parametri direttori sono tra loro proporzionali (quindi le rette sono parallele), ma hai detto che passano per lo stesso punto quindi in pratica sono 2 rette coincidenti.
in realta la retta $r''$, cioe la retta che passa per i punti $A$ e $D$ è immediata da trovare in forma parametrica:
i parametri direttori sono gli stessi di $r'$ (cioe la retta per $B$ e $C$) e un punto di passaggio sara $A$.
quindi retta$AD : \{(x=\lambda),(y=1),(z=2-2\lambda):}$
ragionando in modo analogo trovi la retta $CD : \{(x=\mu),(y=-\mu),(z=1-3\mu):}$
(dato che dobbiamo intersecare le 2 rette è in generale necessario scrivere il parametro con una lettera diversa per ogni retta)
per trovare il punto $D$ infatti basta intersecare le 2 rette:
$\{(\lambda=\mu),(1=-\mu),(2-2\lambda=1-3\mu):}$
ora dalle prime 2 equazioni si ricava che: $\{(\lambda=-1),(\mu=-1):}$ che sostituiti nella 3ª equazione danno un'identita (il che ci dice che le 2 rette si intersecano)
per trovare le coordinate del punto $D$ bastera sostituire il valore di $\lambda$ (o di $\mu$) nella retta $AD$ (o nella retta $CD$) e ottieni:
$D(-1,1,4)$
Perchè tutti questi calcoli ???
E' semplicemente
$x_D = (x_A-x_B)+x_C$
Per le altre coordinate idem !
E' semplicemente
$x_D = (x_A-x_B)+x_C$
Per le altre coordinate idem !
"Quinzio":
Perchè tutti questi calcoli ???
E' semplicemente
$x_D = (x_A-x_B)+x_C$
Per le altre coordinate idem !
so che è una semplice somma di 2 vettori (nota come regola del parallelogramma non a caso), ma se lui ha iniziato con un altro metodo e non trovava l'errore...
grazie mille ragazzi, anche se è un pò tardi mi avete aiutato a chiarire questo problema 
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