Determinare un endomorfismo
Ciao a tutti, avrei un piccolo problema. non riesco a risolvere questo esercizio:
f(W)=Span((1,2,3);(0,1,0);(1,0,0) appartiene a Ker f; e W=Span((1,0,1);(0,1,1))
determinare un endomorfismo f:R^3---->R^3
quacuno mi saprebbe inicare un metodo di risoluzione utile non solo in questo caso ma anche in altre situazioni? Grazie a tutti
f(W)=Span((1,2,3);(0,1,0);(1,0,0) appartiene a Ker f; e W=Span((1,0,1);(0,1,1))
determinare un endomorfismo f:R^3---->R^3
quacuno mi saprebbe inicare un metodo di risoluzione utile non solo in questo caso ma anche in altre situazioni? Grazie a tutti
Risposte
per piacere puoi usare le formule?
f(W)= Span((1,2,3);(0,1,0);(1,0,0)) appartiene a Ker f; e W=Span((1,0,1);(0,1,1))
determinare un endomorfismo f:$R^3$ $\rightarrow$ $R^3$
determinare un endomorfismo f:$R^3$ $\rightarrow$ $R^3$
non riesco a capire perchè se $W$ ha dimensione $2$, $f(W)$ ha dimensione $3$
la traccia che ho è quella, non so neanche io il perchè di questa cosa.. 
Ci sto pensando ma proprio non lo capisco... a parte la stranezza dell'immagine più grande dell'insieme di partenza, se abbiamo uno spazio di dimensione $3$ che appartiene interamente al $ker$ vuol dire che abbiamo l'endomorfismo nullo... ma ciò contraddicerebbe il fatto che $f(W)$ sia quello...
propenderei nel dire che la traccia è sbagliata, ma non vorrei che fosse un mio limite, proviamo ad aspettare qualche altro
propenderei nel dire che la traccia è sbagliata, ma non vorrei che fosse un mio limite, proviamo ad aspettare qualche altro
Comunque il mio problema è questo:
come fare ad associare una funzione avendo dei valori di f?
Ad esempio io ho:
f((1,1,0))=(1,1,0); f((0,1,1))=(0,1,1)); f((1,-1,-1))=(0,0,0) come faccio a capire qual'è la forma lineare associata?
Oppure:
Dato nello sapzio vettoriale R^3 sia:
U=Span((1,2,0),(0,1,1)) e W=Span((1,1,-1);(1,0,1))
rappresentare in forma cartesiana e parametrica l'intersezione dei due sottospazi.
Grazie per la tua disponibilità, ho l'esame di geometria e algebra il 4 e vorrei essere alquanto preparato per poter prendere un buon voto!
come fare ad associare una funzione avendo dei valori di f?
Ad esempio io ho:
f((1,1,0))=(1,1,0); f((0,1,1))=(0,1,1)); f((1,-1,-1))=(0,0,0) come faccio a capire qual'è la forma lineare associata?
Oppure:
Dato nello sapzio vettoriale R^3 sia:
U=Span((1,2,0),(0,1,1)) e W=Span((1,1,-1);(1,0,1))
rappresentare in forma cartesiana e parametrica l'intersezione dei due sottospazi.
Grazie per la tua disponibilità, ho l'esame di geometria e algebra il 4 e vorrei essere alquanto preparato per poter prendere un buon voto!
Questi mi sembrano esercizi abbastanza standard...
Rispondo al primo per ora!
C'è un teorema che ci garantisce che un'applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce sui vettori di base, quindi per prima cosa controlla che i vettori $(1,1,0),(0,1,1),(1,-1,-1)$ siano linearmente indipendenti. Lo sono, ma controlla ugualmente!
Ci sono vari modi per svolgere questo esercizio, io ne conosco uno che risulta un pò lungo e macchinoso, ma purtroppo non ne conosco altri.
Per prima cosa prendi un generico vettore di $RR^3$ $(x,y,z)$ e determina le componenti rispetto alla nostra base, si tratta in pratica di scrivere $(x,y,z)=a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,-1,-1)$ (*)
Otterrai un sistema di questo tipo $\{(a+c=x),(a+b-c=y),(b-c=z):}$, risolvilo in funzione di $a,b,c$ ed otterrai queste soluzioni $\{(a=y-z),(b=x-y+2z),(c=x-y+z):}$
Adesso sostituendo in (*) otterrai $(x,y,z)=(y-z)(1,1,0)+(x-y+2z)(0,1,1)+(x-y+z)(1,-1,-1)$, applicando la $f$ ad entrambi i membri e sfruttando le proprietà di un'applicazione lineare ottieni quindi $f(x,y,z)=(y-z,x+z,x-y+2z)$
Ciao
Rispondo al primo per ora!
C'è un teorema che ci garantisce che un'applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce sui vettori di base, quindi per prima cosa controlla che i vettori $(1,1,0),(0,1,1),(1,-1,-1)$ siano linearmente indipendenti. Lo sono, ma controlla ugualmente!
Ci sono vari modi per svolgere questo esercizio, io ne conosco uno che risulta un pò lungo e macchinoso, ma purtroppo non ne conosco altri.
Per prima cosa prendi un generico vettore di $RR^3$ $(x,y,z)$ e determina le componenti rispetto alla nostra base, si tratta in pratica di scrivere $(x,y,z)=a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,-1,-1)$ (*)
Otterrai un sistema di questo tipo $\{(a+c=x),(a+b-c=y),(b-c=z):}$, risolvilo in funzione di $a,b,c$ ed otterrai queste soluzioni $\{(a=y-z),(b=x-y+2z),(c=x-y+z):}$
Adesso sostituendo in (*) otterrai $(x,y,z)=(y-z)(1,1,0)+(x-y+2z)(0,1,1)+(x-y+z)(1,-1,-1)$, applicando la $f$ ad entrambi i membri e sfruttando le proprietà di un'applicazione lineare ottieni quindi $f(x,y,z)=(y-z,x+z,x-y+2z)$
Ciao
Quanto al secondo inizia a determinare le equazioni dei due spazi $U,W$
Scusami ma non ho capito bene l'ultimo passaggio, quello grazie al quale sei riuscito a determinarti la funzione.
Ho ben capito il sistema, le soluzioni ma l'ultimo passaggio no...
Ho ben capito il sistema, le soluzioni ma l'ultimo passaggio no...
tutto ok, ho capito!!! è stata una mia distrazione
è stata una mia distrazione
rianimo la discussione perchè anche io mi sono imbattuto in questo esercizio...ho notato che però all'inizio il testo non è stato scritto correttamente, cioè a me l'esercizio chiede l'eq cartesiana e parametrica di w e del suo complemento ortogonale risp alla base canonica ma mi da:
[tex]f(W)=Span{(1,2,3),(0,1,0)} e (1,0,0) € ker f
dove W=Span {(1,0,1),(0,1,1)[/tex]
scusate per le formule un po fatte male ma sono nuovo...qualcuno di voi sa aiutarmi a risolvere questo esercizio?
[tex]f(W)=Span{(1,2,3),(0,1,0)} e (1,0,0) € ker f
dove W=Span {(1,0,1),(0,1,1)[/tex]
scusate per le formule un po fatte male ma sono nuovo...qualcuno di voi sa aiutarmi a risolvere questo esercizio?
Complemento ortogonale rispetto al prodotto scalare standard di $RR^3$.
Sinceramente non capisco l'esercizio, cioè se quelle erano le richieste poteva benissimo assegnarti solamente $W$, mentre a te esplicita anche l'immagine e il $ker$ non è che vuole che si determini quell'endomorfismo?
Sinceramente non capisco l'esercizio, cioè se quelle erano le richieste poteva benissimo assegnarti solamente $W$, mentre a te esplicita anche l'immagine e il $ker$ non è che vuole che si determini quell'endomorfismo?
vi scrivo tutto il testo della verifica...
dopo aver determinato un endomorfismo [tex]f:\mathbb{R} 3\rightarrow \mathbb{R} 3[/tex] tale che:
[tex]f(W)=Span\left\{ \right} (1,2,3),(0,1,0)[/tex]
e [tex](1,0,0) appartiene a kerf[/tex] ,
dove [tex]W=Span {\left\{ \right} (1,0,1),(0,1,1)}[/tex]
i)si scrivano le eq cartesiane e parametriche di W e del suo complemento ortognonale rispetto alla base canonica
ii)dopo aver classificato la conica di eq:x^2 +2xy +2y^2 +4y -2x +12=0
si verifichi che la matrice associata alla conica rappresenta un prodotto scalare (phi) e si trovi una base ortonormale di W rispetto al prodotto scalare (phi)
(scusate ma non riesco a chiudere le graffe)
dopo aver determinato un endomorfismo [tex]f:\mathbb{R} 3\rightarrow \mathbb{R} 3[/tex] tale che:
[tex]f(W)=Span\left\{ \right} (1,2,3),(0,1,0)[/tex]
e [tex](1,0,0) appartiene a kerf[/tex] ,
dove [tex]W=Span {\left\{ \right} (1,0,1),(0,1,1)}[/tex]
i)si scrivano le eq cartesiane e parametriche di W e del suo complemento ortognonale rispetto alla base canonica
ii)dopo aver classificato la conica di eq:x^2 +2xy +2y^2 +4y -2x +12=0
si verifichi che la matrice associata alla conica rappresenta un prodotto scalare (phi) e si trovi una base ortonormale di W rispetto al prodotto scalare (phi)
(scusate ma non riesco a chiudere le graffe)
Sai determinare quell'endomorfismo?
Ti faccio notare che $f(e_1)=0_v$ e che $f(1,0,1)=f(e_1)+f(e_3)=f(e_3)=(1,2,3)$. Se ragioni in questo modo, determinare l'endomorfismo non è difficile.
Continuo a chiedermi rispetto a quale prodotto scalare dobbiamo determinare il complemento ortogonale di $W$...
Ti faccio notare che $f(e_1)=0_v$ e che $f(1,0,1)=f(e_1)+f(e_3)=f(e_3)=(1,2,3)$. Se ragioni in questo modo, determinare l'endomorfismo non è difficile.
Continuo a chiedermi rispetto a quale prodotto scalare dobbiamo determinare il complemento ortogonale di $W$...
"mistake89":
Sai determinare quell'endomorfismo?
Ti faccio notare che $f(e_1)=0_v$ e che $f(1,0,1)=f(e_1)+f(e_3)=f(e_3)=(1,2,3)$. Se ragioni in questo modo, determinare l'endomorfismo non è difficile.
Continuo a chiedermi rispetto a quale prodotto scalare dobbiamo determinare il complemento ortogonale di $W$...
purtroppo non lo so determinare, infatti è quello che mi blocca gia dall'inizio.Posso chiederti delle conferme? $f(e_1)=0_v$ lo si ottiene dal fatto che $f(e_1)$ appartiene al ker? e poi come capisco che $f(1,0,1)=(1,2,3)$? che poi mi fa arrivare alla conclusione che $f(e_3)=(1,2,3)$, giusto?
Scusate la mia ignoranza ma non sono davvero abiutuato a fare certi passaggi nonostante ormai sia la quarta volta che provo a dare questo esame.
$f(e_1)$ non appartiene al $ker$. E' $e_1$ ad appartenere al $ker$ quindi per definizione la sua immagine è il vettore nullo.
Molto semplicemente io ragionerei così: Abbiamo un sottospazio $W$ di $RR^3$ e ci chiede di determinare un endomorfismo di $RR^3$. Poichè $e_1$ deve appartenere al $ker$ ed $e_1$ non appartiene a $W$ i tre vettori sono linearmente indipendenti e rappresentano pertanto una base di $RR^3$. A questo punto ci ricordiamo di una teorema che afferma che un'applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce sui vettori di base. Pertanto basterà associare ai nostri $3$ vettori di base un'immagine. Ma quale? Su $e_1$ non abbiamo dubbi, poichè appartiene al $ker$. Per gli altri due osserviamo che la traccia di fornisce $f(W)$, cioè l'$Im$ della nostra applicazione. Quindi non dobbiamo far altro che associare ad ognuno dei nostri $2$ vettori rimanenti una delle immagini. Allora io ho scelto di associare, in maniera del tutto arbitraria, $f(1,0,1)=(1,2,3)$ e di conseguenza l'altro. Ma avrei potuto anche scegliere di operare diversamente, senza incappare in un errore. Tieni però presente che le applicazioni determinate sono diverse.
Spero di esser stato chiaro
Molto semplicemente io ragionerei così: Abbiamo un sottospazio $W$ di $RR^3$ e ci chiede di determinare un endomorfismo di $RR^3$. Poichè $e_1$ deve appartenere al $ker$ ed $e_1$ non appartiene a $W$ i tre vettori sono linearmente indipendenti e rappresentano pertanto una base di $RR^3$. A questo punto ci ricordiamo di una teorema che afferma che un'applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce sui vettori di base. Pertanto basterà associare ai nostri $3$ vettori di base un'immagine. Ma quale? Su $e_1$ non abbiamo dubbi, poichè appartiene al $ker$. Per gli altri due osserviamo che la traccia di fornisce $f(W)$, cioè l'$Im$ della nostra applicazione. Quindi non dobbiamo far altro che associare ad ognuno dei nostri $2$ vettori rimanenti una delle immagini. Allora io ho scelto di associare, in maniera del tutto arbitraria, $f(1,0,1)=(1,2,3)$ e di conseguenza l'altro. Ma avrei potuto anche scegliere di operare diversamente, senza incappare in un errore. Tieni però presente che le applicazioni determinate sono diverse.
Spero di esser stato chiaro
sei stato molto chiaro!!ti ringrazio per la pazienza e per la spiegazione!!ora provo ad adare avanti nell'esercizio!
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