Determinare un' applicazione lineare dati Ker(f) e Im(f)

[lupoz91]

Ciao a tutti,
non so come risolvere questo esercizio, mi potete spiegare il procedimento?
Dati U{(x,y,z) € R^3 +y+z=0} e W{(x,y,z) € R^3: 2x-y+z=0}
determinare una applicazione lineare tale che Ker(f)=UnW e Im(f)=W

io ho calcolato una base per UnW=(-2,-3,1) e le basi per W=(1,0,-2),(0,1,1)

però adesso non so proprio come procedere...qualcuno mi può aiutare?

Grazie mille

[vittorino70]

Presumo che la definizione algebrica di U sia \(\displaystyle -x+y+z=0 \) perché c'è una emoticon che maschera qualcosa. Forse perché hai scritto ":x" tutto attaccato. Devi distanziare i due punti dalla x. Comunque, prendendo per buoni i tuoi risultati , il quesito si risolve come segue . Intanto per ipotesi hai :\(\displaystyle f(-2,-3,1)=(0,0,0) \). Adesso per individuare la f ti servono le antimmagini ( dette anche retroimmagini) dei vettori \(\displaystyle (1,0,-2),(0,1,1) \) , in modo tale che con tre vettori e le relative immagini la f,per un noto teorema , è completamente determinata. Poiché non ci sono altri dati del quesito ,queste antimmagini le puoi fissare a piacere e quindi vi sono infinite soluzioni al problema. Per continuare nei calcoli prendo le antimmagini come segue :
\(\displaystyle f(1,0,0)=(1,0,-2):f(0,1,0)=(0,1,1) \) in modo che la terna \(\displaystyle (-2,-3,1),(1,0,0),(0,1,0) \) sia formata con vettori indipendenti.
Ora esprimo il vettore generico di R^3 in funzione di (-2,-3,1),(1,0,0),(0,1,0) :
\(\displaystyle (x,y,z)=a(-2,-3,1)+b(1,0,0)+c(0,1,0) \)
Facendo i soliti calcoli si trova che :
\(\displaystyle a=z,b=x+2z,c=y+3z \)
e quindi hai :
\(\displaystyle (x,y,z)=z(-2,-3,1)+(x+2z)(1,0,0)+(y+3z)(0,1,0) \)
Passando alle immagini troviamo che :
\(\displaystyle f(x,y,z)=z(0,0,0)+(x+2z)(1,0,-2)+(y+3z)(0,1,1) \)
e facendo i calcoli otteniamo :
\(\displaystyle \boxed{ f(x,y,z)=(x+2z,y+3z,-2x+y-z)} \)
che è la formula richiesta ( una delle tante possibili).