Determinare sottospazio ortogonle a $U$
fissato in r4 il prodotto scal. standard, si consideri il sottospazio di r4 : U=(x+y+2z=y+3z+t=0)
mi potreste perfavore spiegare come si determinano: la dimensione di U ortogonale , una sua base e una base ortonormale di U.........
grazie in anticipo!!!
mi potreste perfavore spiegare come si determinano: la dimensione di U ortogonale , una sua base e una base ortonormale di U.........
grazie in anticipo!!!
Risposte
basta applicare la definizione...
$U^(\bot)={vinRR^4|g(v,u)=0$ $AAuinU}$
Sai qual è una base di $U$,sarà formata dai vettori $u_1,u_2$ ti basta impostare il sistema $g(u_1,v)=0$ e $g(u_2,v)=0$ dove $g$ è il prodotto scalare standard e $v=(x,y,z,t)$ è un generico vettore di $RR^4$
$U^(\bot)={vinRR^4|g(v,u)=0$ $AAuinU}$
Sai qual è una base di $U$,sarà formata dai vettori $u_1,u_2$ ti basta impostare il sistema $g(u_1,v)=0$ e $g(u_2,v)=0$ dove $g$ è il prodotto scalare standard e $v=(x,y,z,t)$ è un generico vettore di $RR^4$
ok...grazie!!!!!!!! se non ti scoccia mi potresti fare un esempio numerico riguardo all esercizio???...per vedere se ho capito bene,,,
Prova a farlo tu relativo a questo esercizio, postalo (ricordando di utilizzare le formule!), e io ti dico se va bene o nel caso contrario te lo correggo!
[mod="Steven"]Benvenuto/a, cads24.
Volevo informarti del fatto (nel caso non avessi data uno sguardo al regolamento) che sarebbe oportuno scegliere titoli appropriati per il topic, e non generici.
Modifico quindi il tuo "help...".[/mod]
Volevo informarti del fatto (nel caso non avessi data uno sguardo al regolamento) che sarebbe oportuno scegliere titoli appropriati per il topic, e non generici.
Modifico quindi il tuo "help...".[/mod]
il sistema quindi è formato dalle equazioni : x+y+2z =0 e y+ 3z + t =0 ...ma allora la dimensione di U è 2, la dimensione di U ortogonale è 2 e una base di U ortogonale è ad esempio :
(1,1,-1,2) ; (1,-1,0,1) giusto??
(1,1,-1,2) ; (1,-1,0,1) giusto??
cioè io non ho capito .....se io imposto il sistema :$g(u1,v)$ e $g(u2,v)$ dove $v$ è un vettore standard $v(x,y,z,t)$ ,,non è come dire : pongo $x +y + 2z =0$ e $y+3z+t=0$ e li metto a sistema???
no, c'è qualcosa da sistemare.
Ti mostro il procedimento, e ti posto i risultati numerici, ma ti invito comunque a ricontrollarli!
allora estraiamo una base da $U$ essa sarà $(-1,1,0,-1),(-2,0,1,-3)$
A questo punto, applicando la definizione che ho richiamato sopra, bisogna impostare il sistema $\{(g(u_1,v)=0),(g(u_2,v)=0):}$ dove $u_1,u_2$ sono i due vettori della base rispettivamente e $v(x,y,z,t)$ è un generico vettore di $RR^4$
Applicando la definizione di prodotto scalare il nostro sistema sarà $\{(-x+y-t=0),(-2x+z-3t=0):}$. Svolgendo i vari calcoli otteniamo che i vettori di $U^(\bot)$ sono della forma $(x,y,3y-x,y-x)$ da cui una base è $(1,0,-1,-1),(0,1,3,1)$
Ora puoi anche verificare che i risultati siano corretti, verificando che effettivamente il prodotto scalare di un qualsiasi vettore di $U$ e di un qualsiasi vettore di $U^(\bot)$ sia uguale a $0$. L'ho fatto ed effettivamente, a meno di calcoli errati, è così
Ti mostro il procedimento, e ti posto i risultati numerici, ma ti invito comunque a ricontrollarli!
allora estraiamo una base da $U$ essa sarà $(-1,1,0,-1),(-2,0,1,-3)$
A questo punto, applicando la definizione che ho richiamato sopra, bisogna impostare il sistema $\{(g(u_1,v)=0),(g(u_2,v)=0):}$ dove $u_1,u_2$ sono i due vettori della base rispettivamente e $v(x,y,z,t)$ è un generico vettore di $RR^4$
Applicando la definizione di prodotto scalare il nostro sistema sarà $\{(-x+y-t=0),(-2x+z-3t=0):}$. Svolgendo i vari calcoli otteniamo che i vettori di $U^(\bot)$ sono della forma $(x,y,3y-x,y-x)$ da cui una base è $(1,0,-1,-1),(0,1,3,1)$
Ora puoi anche verificare che i risultati siano corretti, verificando che effettivamente il prodotto scalare di un qualsiasi vettore di $U$ e di un qualsiasi vettore di $U^(\bot)$ sia uguale a $0$. L'ho fatto ed effettivamente, a meno di calcoli errati, è così
ah ho capito...grazie mille...!!!! quindi il mio sbaglio era nel non estrarre una base di $U$ prima di svolgere il sistema...!!! Un ultima cosa( e poi ti lascio in pace 
) ..l' ultimo punto : quello in cui mi chiede una base ORTONORMALE di $U$ dato che $U$ ha dimensione $2$... puo essere $(-1,1,0,-1),(-2,0,1,-3)$???
) ..l' ultimo punto : quello in cui mi chiede una base ORTONORMALE di $U$ dato che $U$ ha dimensione $2$... puo essere $(-1,1,0,-1),(-2,0,1,-3)$???
Cosa significa base ortonormale? E' una base tale che la matrice ad essa associata sia l'identità... Se noi calcolassimo $g(u_i,u_j)$ a me pare che la matrice non sia l'identità... Prova ad usare Gram-Schimdt
ok ...grazie
ok ...grazie
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