Determinare quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi

[m45511]

Salve a tutti ho questi esercizi e non so davvero dove mettere le mani:

Quali dei seguenti sottoinsieme di $R^3$ sono sottospazi?

$1){sqrt(2)a+b,a-sqrt(2)b,a}$
$2){a,asqrt(b),b}$

Forse io ci sono arrivato ma non ne sono sicuro:
Il sottoinsieme numero 1 è SOTTOSPAZIO perchè a e b rimangono sempre dello stesso grado.
Il sottoinsieme numero 2 NON è SOTTOSPAZIO perchè c'è $sqrt(b)$ ed il grado cambia.

Qualcuno può spiegarmi meglio? Graize.

[cirasa]

Le soluzioni a cui sei giunto sono giuste, ma devi spiegarne meglio il motivo.
Di prim'acchito puoi fare quelle considerazioni generali, ma poi devi dare una dimostrazione più precisa.

Per verificare che un dato insieme $W$ sia un sottospazio di uno spazio vettroiale $V$, devi verificare che siano verificate le proprietà che definiscono un sottospazio, cioè devi verificare che
1) $u+w\in W$ per ogni $u,w\in W$;
2) $\lambda u\in W$ per ogni $u\in W$ e $\lambda\in RR$.
Se sono verificate entrambe le proprietà, allora puoi concludere che è un sottospazio.
Equivalentemente puoi provare che
3) $\lambda u+\mu w\in W$ per ogni $u,w\in W$ e $\lambda.\mu\in RR$.

Per provare che un dato insieme non è sottospazio, devi esibire un controesempio ad una delle due proprietà 1), 2).

[m45511]

grazie cirasa sei disponibile e cordiale come sempre un sincero ringraziamento