Determinare matrice dati polinomio caratteristico e relazione con applicazione lineare
Mi potreste aiutare a risolvere questo esercizio d'esame di complementi di matematica?
non ho davvero idea di come risolverlo, ho già tentato in vari modi ma tutto inutile
grazie mille
non ho davvero idea di come risolverlo, ho già tentato in vari modi ma tutto inutile
Determinare una matrice A a coefficienti reali che abbia (x + 1)(x − 2)^2 come polinomio caratteristico e tale che A·V = V dove V = {(x,y,z)∈R^3 :2x−z=y}.
grazie mille
Risposte
Premetto che il quesito ha infinite soluzioni e ciò è confermato dal fatto che si chiede non "la matrice" ma "una matrice". Inoltre gli autovalori della matrice richiesta sono $lambda_1=-1,lambda_2=2$, di cui il secondo con molteplicità 2.
Poiché il sottospazio vettoriale V ( rappresentato dal piano $2x-z=y$) è trasformato in se stesso, scelgo come autovettori relativi agli autovalori $-1,2$ due qualsiasi vettori appartenenti a tale piano. Per esempio $(1,0,2)$ e $(0,1,-1)$ e quindi pongo :
(1) \(\displaystyle \begin{cases}f(1,0,2)=-1(1,0,2)=(-1,0,-2)\\ f(0,1,-1)=2(0,1,-1)=(0,2,-2)\end{cases} \)
Serve ora una terza condizione per individuare completamente la matrice M richiesta. Questa ulteriore condizione la si può trovare utilizzando la circostanza che il secondo autovalore è doppio. Allora scelgo un terzo vettore, linearmente indipendente dai primi due, per esempio $(0,0,1)$ e lo considero come autovettore relativo a $lambda_2=2$ :
(2) $ f(0,0,1)=2(0,0,1)=(0,0,2) $
Riunendo la (1) e la (2) abbiamo le condizioni che permettono di individuare M :
(3) \(\displaystyle \begin{cases}f(1,0,2)=-1(1,0,2)=(-1,0,-2)\\ f(0,1,-1)=2(0,1,-1)=(0,2,-2)\\f(0,0,1)=2(0,0,1)=(0,0,2)\end{cases} \)
Come è noto dalla teoria , la matrice M è allora data da :
$M=((-1,0,0),(0,2,0),(-2,-2,2)) cdot ((1,0,0),(0,1,0),(2,-1,1))^{-1}$
Facendo i soliti calcoli si ha :
$M=((-1,0,0),(0,2,0),(-6,0,2))$
Faresti un utile esercizio verificando che le (3) sono soddisfatte da tale matrice.
Poiché il sottospazio vettoriale V ( rappresentato dal piano $2x-z=y$) è trasformato in se stesso, scelgo come autovettori relativi agli autovalori $-1,2$ due qualsiasi vettori appartenenti a tale piano. Per esempio $(1,0,2)$ e $(0,1,-1)$ e quindi pongo :
(1) \(\displaystyle \begin{cases}f(1,0,2)=-1(1,0,2)=(-1,0,-2)\\ f(0,1,-1)=2(0,1,-1)=(0,2,-2)\end{cases} \)
Serve ora una terza condizione per individuare completamente la matrice M richiesta. Questa ulteriore condizione la si può trovare utilizzando la circostanza che il secondo autovalore è doppio. Allora scelgo un terzo vettore, linearmente indipendente dai primi due, per esempio $(0,0,1)$ e lo considero come autovettore relativo a $lambda_2=2$ :
(2) $ f(0,0,1)=2(0,0,1)=(0,0,2) $
Riunendo la (1) e la (2) abbiamo le condizioni che permettono di individuare M :
(3) \(\displaystyle \begin{cases}f(1,0,2)=-1(1,0,2)=(-1,0,-2)\\ f(0,1,-1)=2(0,1,-1)=(0,2,-2)\\f(0,0,1)=2(0,0,1)=(0,0,2)\end{cases} \)
Come è noto dalla teoria , la matrice M è allora data da :
$M=((-1,0,0),(0,2,0),(-2,-2,2)) cdot ((1,0,0),(0,1,0),(2,-1,1))^{-1}$
Facendo i soliti calcoli si ha :
$M=((-1,0,0),(0,2,0),(-6,0,2))$
Faresti un utile esercizio verificando che le (3) sono soddisfatte da tale matrice.
grazie mille, adesso riguardo l'esercizio e verifico
Ho alcuni dubbi:
perchè moltiplichi i vettori di V per gli autovalori di A?
io ho che A·V = V ma in base alla teoria che so A dovrebbe essere la matrice identità affinchè sia valida l'equivalenza, mentre da quello che scrivi tu mi pare di capire che con A·V = V di intende che A·$(1,0,2)$=$(-1,0,-2)$ è corretto? (scusa l'esempio ma non so spiegarlo in linguaggio tecnico)
grazie
"ciromario":
Poiché il sottospazio vettoriale V ( rappresentato dal piano $2x-z=y$) è trasformato in se stesso, scelgo come autovettori relativi agli autovalori $-1,2$ due qualsiasi vettori appartenenti a tale piano. Per esempio $(1,0,2)$ e $(0,1,-1)$ e quindi pongo :
(1) \(\displaystyle \begin{cases}f(1,0,2)=-1(1,0,2)=(-1,0,-2)\\ f(0,1,-1)=2(0,1,-1)=(0,2,-2)\end{cases} \)
perchè moltiplichi i vettori di V per gli autovalori di A?
"ciromario":
Come è noto dalla teoria , la matrice M è allora data da :
$M=((-1,0,0),(0,2,0),(-2,-2,2)) cdot ((1,0,0),(0,1,0),(2,-1,1))^{-1}$
io ho che A·V = V ma in base alla teoria che so A dovrebbe essere la matrice identità affinchè sia valida l'equivalenza, mentre da quello che scrivi tu mi pare di capire che con A·V = V di intende che A·$(1,0,2)$=$(-1,0,-2)$ è corretto? (scusa l'esempio ma non so spiegarlo in linguaggio tecnico)
grazie
Per il primo dubbio ho applicato la definizione di autovettore ed autovalore: un autovettore $v$, relativo all' autovalore $lambda$, è un vettore tale che sia $f(v)=lambda v$.
Per il secondo dubbio penso che tu abbia interpretato male la cosa. La consegna dice che $V$ è trasformato in sé ma questo non significa che ogni vettore $v in V$ viene trasformato identicamente in sé ma che ogni vettore $v in V$ viene trasformato in un altro vettore, generalmente diverso da $v$, ma sempre appartenente a $V$. Per esempio, rifacendoci a quanto ho scritto io, si ha $f(1,0,2)=(-1,0,-2)$ , ovvero il vettore $(1,0,2)$ viene trasformato nel vettore opposto $(-1,0,-2)$. Di conseguenza la scrittura $A cdot V=V$ non implica che $A$ ( o $M$, come ho scritto io) sia la matrice identica !
Sia come sia, la faccenda di V non tocca la determinazione di M ma riguarda la teoria ( coma ho già scritto). Se di un'applicazione lineare $f:mathbb{R^3}->mathbb{R^3}$ di tre vettori $v_1,v_2,v_3$ ( linearmente indipendenti) si conoscono le corrispondenti immagini $v'_1,v'_2,v'_3$, allora la matrice M associata ad f è il prodotto :
$M=M_2 cdot M_1^{-1}$
dove $M_2$ è la matrice che ha per colonne i vettori immagine $v'_1,v'_2,v'_3$ ed $M_1$ è la matrice che ha per colonne i vettori $v_1,v_2,v_3$.
Vi anche metodi alternativi ma questo mi è sembrato il più immediato...
Per il secondo dubbio penso che tu abbia interpretato male la cosa. La consegna dice che $V$ è trasformato in sé ma questo non significa che ogni vettore $v in V$ viene trasformato identicamente in sé ma che ogni vettore $v in V$ viene trasformato in un altro vettore, generalmente diverso da $v$, ma sempre appartenente a $V$. Per esempio, rifacendoci a quanto ho scritto io, si ha $f(1,0,2)=(-1,0,-2)$ , ovvero il vettore $(1,0,2)$ viene trasformato nel vettore opposto $(-1,0,-2)$. Di conseguenza la scrittura $A cdot V=V$ non implica che $A$ ( o $M$, come ho scritto io) sia la matrice identica !
Sia come sia, la faccenda di V non tocca la determinazione di M ma riguarda la teoria ( coma ho già scritto). Se di un'applicazione lineare $f:mathbb{R^3}->mathbb{R^3}$ di tre vettori $v_1,v_2,v_3$ ( linearmente indipendenti) si conoscono le corrispondenti immagini $v'_1,v'_2,v'_3$, allora la matrice M associata ad f è il prodotto :
$M=M_2 cdot M_1^{-1}$
dove $M_2$ è la matrice che ha per colonne i vettori immagine $v'_1,v'_2,v'_3$ ed $M_1$ è la matrice che ha per colonne i vettori $v_1,v_2,v_3$.
Vi anche metodi alternativi ma questo mi è sembrato il più immediato...
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