Determinare matrice associata ad f
Buona sera a tutti. Sto provando a risolvere alcuni esercizi di algebra lineare, ma incontro parecchie difficoltà nella determinazione di una matrice associata ad f endomorfismo. L'esercizio è il seguente:
" sono assegnati il sottospazio di $R^4$ $V={(x,y,z,t) in R^4 | x-y+z-t=0}$ e l'endomorfismo $f:V->V$ definito da:
$f(1,1,0,0)=(2,0,-1,1)$
$f(0,1,1,0)=(1,0,0,1)$
$f(0,0,1,1)=(0,1,2,1)$
studiare l'endomorfismo."
Sinora ho studiato e svolto esercizi per cui fondamentale era lo scrivere una matrice associata ad f, rispetto tuttavia alle basi canoniche. Adesso, invece, sembra essere utile utilizzare una base generica B di V formata dai vettori $v_1=(1,1,0,0),v_2=(0,1,1,0), v_3=(0,0,1,1)$, avendoo già le immagini. Scegliendo v=vettore generico, ho trovato le componenti rispetto a B.
$a=x$
$b-a=y$
$a-b+c-d=0$
$d=z$
Come faccio però a calcolare $[f(v_1)]_B, [f(v_2)]_B$ , etc...?
Spero davvero possiate darmi un aiuto in questo perchè sfogliando e risfogliando appunti e pagine del libro, non riesco a venirne fuori..
Vi ringrazio.
Alex
" sono assegnati il sottospazio di $R^4$ $V={(x,y,z,t) in R^4 | x-y+z-t=0}$ e l'endomorfismo $f:V->V$ definito da:
$f(1,1,0,0)=(2,0,-1,1)$
$f(0,1,1,0)=(1,0,0,1)$
$f(0,0,1,1)=(0,1,2,1)$
studiare l'endomorfismo."
Sinora ho studiato e svolto esercizi per cui fondamentale era lo scrivere una matrice associata ad f, rispetto tuttavia alle basi canoniche. Adesso, invece, sembra essere utile utilizzare una base generica B di V formata dai vettori $v_1=(1,1,0,0),v_2=(0,1,1,0), v_3=(0,0,1,1)$, avendoo già le immagini. Scegliendo v=vettore generico, ho trovato le componenti rispetto a B.
$a=x$
$b-a=y$
$a-b+c-d=0$
$d=z$
Come faccio però a calcolare $[f(v_1)]_B, [f(v_2)]_B$ , etc...?
Spero davvero possiate darmi un aiuto in questo perchè sfogliando e risfogliando appunti e pagine del libro, non riesco a venirne fuori..
Vi ringrazio.
Alex
Risposte
Devi scrivere $f(v_1)=(2.0.-1.1)$ come combinazione lineare di $v_1,v_2,v_3$, cioè devi trovare $a,b,c$ tali che
$(2.0.-1.1)=av_1+bv_2+cv_3$.
$a,b,c$ formeranno la prima colonna della matrice associata ad $f$ rispetto alla base $B$.
E poi analogamente per $f(v_2)$ e $f(v_3)$.
Alla fine dovresti trovare una matrice $3\times 3$.
$(2.0.-1.1)=av_1+bv_2+cv_3$.
$a,b,c$ formeranno la prima colonna della matrice associata ad $f$ rispetto alla base $B$.
E poi analogamente per $f(v_2)$ e $f(v_3)$.
Alla fine dovresti trovare una matrice $3\times 3$.
grazie, cirasa. Tutto perfettamente chiaro 
alex
alex
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