Determinare matrice associata
Ciao ragazzi, ho 2 problemi su due esercizi sulle matrici associate. Ecco i 2 testi dei due problemi.
Sia $ f:R^3 rarr R^4 $ un'applicazione lineare così definita: $ f(x1,x2,x3)=(5x1+4x2−9x3, 4x1+5x2−9x3, −9x1−9x2+9x3, x1+x2+x3) $. Determinare la matrice associata alla $ f $ rispetto alla base canonica in $ R^4 $ e $ B={(1,1,0), (1,0,−1), (0,1,−1)} $ in $ R^3 $.
Sia $ f : R^4 rarr R^2 $ un'applicazione lineare avente matrice associata
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , -1 ) ) $
rispetto alle basi $ B1={(1,1), (1,0)} $ di $ R^2 $ e $ B2 = {(1,1,1,0), (1,0,0,0), (2,0,0,1), (0,0,1,0)} $ di $ R^4 $. Determinare la matrice associata a $ f $ rispetto alle basi canoniche sia nel dominio che nel codominio.
Non so proprio dove mettere le mani...
Sia $ f:R^3 rarr R^4 $ un'applicazione lineare così definita: $ f(x1,x2,x3)=(5x1+4x2−9x3, 4x1+5x2−9x3, −9x1−9x2+9x3, x1+x2+x3) $. Determinare la matrice associata alla $ f $ rispetto alla base canonica in $ R^4 $ e $ B={(1,1,0), (1,0,−1), (0,1,−1)} $ in $ R^3 $.
Sia $ f : R^4 rarr R^2 $ un'applicazione lineare avente matrice associata
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , -1 ) ) $
rispetto alle basi $ B1={(1,1), (1,0)} $ di $ R^2 $ e $ B2 = {(1,1,1,0), (1,0,0,0), (2,0,0,1), (0,0,1,0)} $ di $ R^4 $. Determinare la matrice associata a $ f $ rispetto alle basi canoniche sia nel dominio che nel codominio.
Non so proprio dove mettere le mani...
Risposte
Ciao,
come primo consiglio ti invito a visitare la pagina http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Veniamo al primo esercizio.
Ti viene data la base di partenza dei vettori, adesso da questa devi trovare le immagini di questi vettori (per farlo sostituisci i vari $v_1=(1,1,0)$. $v_2=(1,0,-1)$ e $v_3=(0,1,-1)$ nella definizione di f).
Otterrai $f(v_1)= (9,9,-18,2)$, $f(v_2)=(10,13,-18,0)$, $f(v_3)=(13,14,-18,0)$.
Adesso che sai i valori degli $f(v_i)$ con $i=1,2,3$ devi trovare i valori di queste immagini in base canonica $\epsilon$, cioè
$[f(v_1)]_\epsilon= a *e_1 + b*e_2 + c*e_3 +d*e_4$. Subito trovi che $a=9 , b=9, c=-18, d=2$
Ripetendo questo discorso per $f(v_2)$ ed $f(v_3)$ alla fine ottieni che la matrice associata è
$M^(B,\epsilon)(f)=((9,10,13),(9,13,14),(-18,-18,-18),(2,0,0))$
Spero di non aver detto sciocchezze
Adesso prova tu a risolvere il secondo esercizio
come primo consiglio ti invito a visitare la pagina http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Veniamo al primo esercizio.
Ti viene data la base di partenza dei vettori, adesso da questa devi trovare le immagini di questi vettori (per farlo sostituisci i vari $v_1=(1,1,0)$. $v_2=(1,0,-1)$ e $v_3=(0,1,-1)$ nella definizione di f).
Otterrai $f(v_1)= (9,9,-18,2)$, $f(v_2)=(10,13,-18,0)$, $f(v_3)=(13,14,-18,0)$.
Adesso che sai i valori degli $f(v_i)$ con $i=1,2,3$ devi trovare i valori di queste immagini in base canonica $\epsilon$, cioè
$[f(v_1)]_\epsilon= a *e_1 + b*e_2 + c*e_3 +d*e_4$. Subito trovi che $a=9 , b=9, c=-18, d=2$
Ripetendo questo discorso per $f(v_2)$ ed $f(v_3)$ alla fine ottieni che la matrice associata è
$M^(B,\epsilon)(f)=((9,10,13),(9,13,14),(-18,-18,-18),(2,0,0))$
Spero di non aver detto sciocchezze
Adesso prova tu a risolvere il secondo esercizio
Ho fatto così
$ f(1,0)=1(1,1,1,0)+0(1,0,0,0)+0(2,0,0,1)+1(0,0,1,0)=(1,1,2,0) $
$ f(0,1)=-1(1,1,1,0)+1(1,0,0,0)+2(2,0,0,1)-1(0,0,1,0)=(4,-1,-2,2) $
Quindi la matrice è
$ ( ( 1 , 4 ),( 1 , -1 ),( 2 , -2 ),( 0 , 2 ) ) $
$ f(1,0)=1(1,1,1,0)+0(1,0,0,0)+0(2,0,0,1)+1(0,0,1,0)=(1,1,2,0) $
$ f(0,1)=-1(1,1,1,0)+1(1,0,0,0)+2(2,0,0,1)-1(0,0,1,0)=(4,-1,-2,2) $
Quindi la matrice è
$ ( ( 1 , 4 ),( 1 , -1 ),( 2 , -2 ),( 0 , 2 ) ) $
Occhio che in questo secondo esercizio non hai direttamente definite le equazioni della funzione ma hai la matrice associata rispetto alle basi $B_1$ e $B_2$.
Per trovare le immagini dei vettori della base $B_2$ (che per comodità chiamo $v_i$ con $i=1,2,3,4$) rispetto alla base $B_1$ bisogna operare un prodotto righe per colonne tra la matrice associata che abbiamo e i vettori $_i$.
Si ottiene:
$[f(v_1)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((1),(1),(1),(0))= ((1),(2))$
$[f(v_2)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((1),(0),(0),(0))= ((1),(-1))$
$[f(v_3)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((2),(0),(0),(1))= ((3),(-3))$
$[f(v_4)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((0),(0),(1),(0))= ((0),(2))$
Pertanto la matrice associata è
$M^(B_1, \epsilon)=((1,1,3,0),(2,-1,-3,2))$
Ti è tutto chiaro?
EDIT: per la matrice associata rispetto alle basi canoniche guardare il post dopo.
Per trovare le immagini dei vettori della base $B_2$ (che per comodità chiamo $v_i$ con $i=1,2,3,4$) rispetto alla base $B_1$ bisogna operare un prodotto righe per colonne tra la matrice associata che abbiamo e i vettori $_i$.
Si ottiene:
$[f(v_1)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((1),(1),(1),(0))= ((1),(2))$
$[f(v_2)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((1),(0),(0),(0))= ((1),(-1))$
$[f(v_3)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((2),(0),(0),(1))= ((3),(-3))$
$[f(v_4)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((0),(0),(1),(0))= ((0),(2))$
Pertanto la matrice associata è
$M^(B_1, \epsilon)=((1,1,3,0),(2,-1,-3,2))$
Ti è tutto chiaro?
EDIT: per la matrice associata rispetto alle basi canoniche guardare il post dopo.
Tutto chiaro, grazie mille! Solo una cosa, questa matrice che abbiamo trovato è la matrice associata alle basi canoniche giusto? Se moltiplico questa matrice per
$ ( ( x ),( y ) ) $
ottengo la mia applicazione lineare, o sbaglio?
P.S. Se l'esercizio non mi avesse dato la base di R2 a me non sarebbe cambiato nulla dato che non la utilizzo, giusto?
$ ( ( x ),( y ) ) $
ottengo la mia applicazione lineare, o sbaglio?
P.S. Se l'esercizio non mi avesse dato la base di R2 a me non sarebbe cambiato nulla dato che non la utilizzo, giusto?
"Cricco95":
Questa matrice che abbiamo trovato è la matrice associata alle basi canoniche giusto?
Scusa ma avevo capito che serviva la matrice da $B_2& alla base canonica.
Ho sistemato quì sotto.
Base di partenza: $B_2={v_1=(1,1,1,0),v_2=(1,0,0,0),v_3=(2,0,0,1),v_4=(0,0,1,0)}$
Base di arrivo: $B_1={w_1=(1,1),w_2=(1,0)}$
Dalla definizione di matrice associata, sappiamo che
$f(v_1)= 1 * w_1 - 1* w_2$
$f(v_2)=0 * w_1 + 1* w_2$
$f(v_3)=0 * w_1 + 2* w_2$
$f(v_4)=1 * w_1 - 1* w_2$
Abbiamo trovato attraverso i miei calcoli che
$[f(v_1)]_(B_1)=(1,2)$
$[f(v_2)]_(B_1)=(1,−1)$
$[f(v_3)]_(B_1)=(3,−3)$
$[f(v_4)]_(B_1)=(0,2)$
Così però ho i vettori in base $B_1$ ma a me servono in base canonica $\epsilon$, cioè
$v_1= e_1 + e_2 + e_3$
$v_2= e_1$
$v_3= 2e_1 + e_4$
$v_4= e_3$
A questo punto procedo come il primo esercizio, cioè da queste parto per trovarmi le immagini di $e_i$ grazie alle $f(v_i)$ che ho già, con $i=1,...,4$.
Otteniamo:
$f(e_1)= (1,-1)$
$f(e_2)=(0,1)$
$f(v_3)=(0,2)$
$f(v_4)=(1,-1)$
Quindi la matrice associata rispetto alle basi canoniche la otteniamo mettendo in colonna i vari $f(e_i)$ con $i=1,...,4$, cioè:
$((1,0,0,1),(-1,1,2,-1))$
Scusa ancora per la svista
Ciao, non ho capito come fai a trovare i vari $ f(ei) $ e soprattutto, la matrice viene come la matrice iniziale?
EDIT: Ho capito come si trovano le varie immagini delle basi canoniche tramite questo link: http://www.****.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/536-come-trovare-la-matrice-rappresentativa-applicazioni-lineari.html. Però vale sempre la seconda domanda: la matrice associata alle basi canoniche che abbiamo trovato viene uguale a quella di partenza, è un caso?
EDIT: Dopo aver sbattuto 300 volte la testa sull'esercizio
ho (forse) trovato la soluzione. Riscrivo tutto il procedimento...
EDIT: Ho capito come si trovano le varie immagini delle basi canoniche tramite questo link: http://www.****.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/536-come-trovare-la-matrice-rappresentativa-applicazioni-lineari.html. Però vale sempre la seconda domanda: la matrice associata alle basi canoniche che abbiamo trovato viene uguale a quella di partenza, è un caso?
EDIT: Dopo aver sbattuto 300 volte la testa sull'esercizio
ho (forse) trovato la soluzione. Riscrivo tutto il procedimento...
"Cricco95":
EDIT: Dopo aver sbattuto 300 volte la testa sull'esercizio
Ok aspetto. Non vorrei aver scritto io stessa corbellerie
"Samy21":
[quote="Cricco95"]EDIT: Dopo aver sbattuto 300 volte la testa sull'esercizio
Ok aspetto. Non vorrei aver scritto io stessa corbellerie
[/quote]No no, magari sbaglio io
Ho un'applicazione lineare $ f: R^4 rarr R^2 $ avente matrice associata
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , -1 ) ) $
rispetto alle seguenti basi:
$ B1={(1,1), (1,0)} $ di $ R^2 $
$ B2={(1,1,1,0), (1,0,0,0), (2,0,0,1), (0,0,1,0)} $ di $ R^4 $
A questo punto trovo le $ f(vi) $ con $ i=1, 2, 3, 4 $
$ f(v1)=( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , -1 ) ) ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) )=( (1),(2) ) $
$ f(v2)=( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , -1 ) ) ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )=( (1),(-1) ) $
$ f(v3)=( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , -1 ) ) ( ( 2 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( (3),(-3) ) $
$ f(v4)=( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , -1 ) ) ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )=( (0),(2) ) $
Ora devo scrivere le immagini appena trovate come combinazione lineare di basi canoniche, quindi...
$ f(1,2)=2(1,1) -1(1,0) $
$ f(1,-1)=-1(1,1) +2(1,0) $
$ f(3,-3)=-3(1,1) +6(1,0) $
$ f(0,2)=2(1,1) -2(1,0) $
Quindi la matrice associata rispetto alle basi canoniche è
$ ( ( 2 , -1 , -3 , 2 ),( -1 , 2 , 6 , -2 ) ) $
Però nell'ultimo passaggio $(1,1)$ non fa parte della base canonica ma è $e_1+e_2$
"Samy21":
Però nell'ultimo passaggio $(1,1)$ non fa parte della base canonica ma è $e_1+e_2$
Allora non riesco proprio a capire l'ultimo passaggio, ce la fai a spiegarmelo?
Fino a trovare i vari $ f(vi) $ è abbastanza semplice...L'ultimo passaggio dovrebbe essere questo?
$ f(1,2)=1(1,0) +2(0,1) $
$ f(1,-1)=1(1,0) -1(0,1) $
$ f(3,-3)=3(1,0) -3(0,1) $
$ f(0,2)=0(1,0) +2(0,1) $
La matrice associata è
$ ( ( 1 , 1 , 3 , 0 ),( 2 , -1 , -3 , 2 ) ) $
che effettivamente è identica alla matrice di partenza, per questo mi suona strano l'esercizio
Ti spiego tutto in corsivo.
Base di partenza: $B_2={v_1=(1,1,1,0),v_2=(1,0,0,0),v_3=(2,0,0,1),v_4=(0,0,1,0)}$
Base di arrivo: $B_1={w_1=(1,1),w_2=(1,0)}$
Dalla definizione di matrice associata, sappiamo che
$f(v_1)= 1 * w_1 - 1* w_2$
$f(v_2)=0 * w_1 + 1* w_2$
$f(v_3)=0 * w_1 + 2* w_2$
$f(v_4)=1 * w_1 - 1* w_2$
Nel testo del problema ci viene dato come valore solo la matrice associata alla a.l.
Abbiamo trovato attraverso i miei calcoli che
$[f(v_1)]_(B_1)=(1,2)$
$[f(v_2)]_(B_1)=(1,−1)$
$[f(v_3)]_(B_1)=(3,−3)$
$[f(v_4)]_(B_1)=(0,2)$
Non abbiamo nè le equazioni generali della a.l. nè le immagini di alcuni vettori, quindi dobbiamo trovare una immagine solo attraverso la matrice associata.
Così però ho i vettori in base $B_1$ ma a me servono in base canonica $\epsilon$, cioè
$v_1= e_1 + e_2 + e_3$
$v_2= e_1$
$v_3= 2e_1 + e_4$
$v_4= e_3$
Ho semplicemente scritto i vettori della base di partenza in relazione alla base canonica.
A questo punto procedo come il primo esercizio, cioè da queste parto per trovarmi le immagini di $e_i$ grazie alle $f(v_i)$ che ho già, con $i=1,...,4$.
$f(v_1)= (1,2)=f(e_1) + f(e_2) + f(e_3)$
$f(v_2)= (1,−1)=f(e_1)$
$f(v_3)= (3,−3)=2f(e_1) + f(e_4)$
$f(v_4)= (0,2)=f(e_3)$
Con il metodo di sostituzione mi trovo quindi tutti gli altri valori
Otteniamo:
$f(e_1)= (1,-1)$
$f(e_2)=(0,1)$
$f(v_3)=(0,2)$
$f(v_4)=(1,-1)$
In ogni caso mi riguardo tutto l'esercizio con attenzione, non vorrei aver commesso qualche sbaglio.
Fammi sapere se ora è chiaro come ho trovato gli $f(e_i)$
Base di partenza: $B_2={v_1=(1,1,1,0),v_2=(1,0,0,0),v_3=(2,0,0,1),v_4=(0,0,1,0)}$
Base di arrivo: $B_1={w_1=(1,1),w_2=(1,0)}$
Dalla definizione di matrice associata, sappiamo che
$f(v_1)= 1 * w_1 - 1* w_2$
$f(v_2)=0 * w_1 + 1* w_2$
$f(v_3)=0 * w_1 + 2* w_2$
$f(v_4)=1 * w_1 - 1* w_2$
Nel testo del problema ci viene dato come valore solo la matrice associata alla a.l.
Abbiamo trovato attraverso i miei calcoli che
$[f(v_1)]_(B_1)=(1,2)$
$[f(v_2)]_(B_1)=(1,−1)$
$[f(v_3)]_(B_1)=(3,−3)$
$[f(v_4)]_(B_1)=(0,2)$
Non abbiamo nè le equazioni generali della a.l. nè le immagini di alcuni vettori, quindi dobbiamo trovare una immagine solo attraverso la matrice associata.
Così però ho i vettori in base $B_1$ ma a me servono in base canonica $\epsilon$, cioè
$v_1= e_1 + e_2 + e_3$
$v_2= e_1$
$v_3= 2e_1 + e_4$
$v_4= e_3$
Ho semplicemente scritto i vettori della base di partenza in relazione alla base canonica.
A questo punto procedo come il primo esercizio, cioè da queste parto per trovarmi le immagini di $e_i$ grazie alle $f(v_i)$ che ho già, con $i=1,...,4$.
$f(v_1)= (1,2)=f(e_1) + f(e_2) + f(e_3)$
$f(v_2)= (1,−1)=f(e_1)$
$f(v_3)= (3,−3)=2f(e_1) + f(e_4)$
$f(v_4)= (0,2)=f(e_3)$
Con il metodo di sostituzione mi trovo quindi tutti gli altri valori
Otteniamo:
$f(e_1)= (1,-1)$
$f(e_2)=(0,1)$
$f(v_3)=(0,2)$
$f(v_4)=(1,-1)$
In ogni caso mi riguardo tutto l'esercizio con attenzione, non vorrei aver commesso qualche sbaglio.
Fammi sapere se ora è chiaro come ho trovato gli $f(e_i)$
Perfetto, ora ho capito <3
Quindi il fatto che la matrice associata alle basi canoniche sia identica a quella che mi da l'esercizio è solo un caso? E perchè la base B1 non viene usata nell'esercizio? Mi rimangono solo questi 2 dubbi
Quindi il fatto che la matrice associata alle basi canoniche sia identica a quella che mi da l'esercizio è solo un caso? E perchè la base B1 non viene usata nell'esercizio? Mi rimangono solo questi 2 dubbi
No, generalmente è diversa, sicuramente avrò fatto qualche sbaglio di calcolo.
Sto rivedendo il tutto e ti do conferma
Sto rivedendo il tutto e ti do conferma
"Samy21":
No, generalmente è diversa, sicuramente avrò fatto qualche sbaglio di calcolo.
Sto rivedendo il tutto e ti do conferma
Grazie mille
Ho rivisto l'esercizio e non mi sembra ci siano errori anche perchè ho applicato questo sistema su altri esercizi, dove però avevo le immagini dei vettori già definite, e mi dava il risultato corretto.
A questo punto temo che, avendo noi la matrice associata, il passaggio che faccio conclusivo non sia necessario, quindi probabilmente la matrice associata rispetto alle basi canoniche è quella che avevo scritto nel primo post, cioè
Sarebbe meglio che qualcuno di competente ci dia un occhio così almeno ne veniamo a capo, anche perchè mi sto sentendo come un gatto che si cerca di prendere la coda
A questo punto temo che, avendo noi la matrice associata, il passaggio che faccio conclusivo non sia necessario, quindi probabilmente la matrice associata rispetto alle basi canoniche è quella che avevo scritto nel primo post, cioè
"Samy21":
Per trovare le immagini dei vettori della base $B_2$ (che per comodità chiamo $v_i$ con $i=1,2,3,4$) rispetto alla base $B_1$ bisogna operare un prodotto righe per colonne tra la matrice associata che abbiamo e i vettori $_i$.
Si ottiene:
$[f(v_1)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((1),(1),(1),(0))= ((1),(2))$
$[f(v_2)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((1),(0),(0),(0))= ((1),(-1))$
$[f(v_3)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((2),(0),(0),(1))= ((3),(-3))$
$[f(v_4)]_(B_1)= ((1, 0, 0, 1),(−1, 1, 2, −1)) ((0),(0),(1),(0))= ((0),(2))$
Pertanto la matrice associata è
$M^(B_1, \epsilon)=((1,1,3,0),(2,-1,-3,2))$
Sarebbe meglio che qualcuno di competente ci dia un occhio così almeno ne veniamo a capo, anche perchè mi sto sentendo come un gatto che si cerca di prendere la coda
Attenzione però che scrivere $f(1,2)$ è diverso di $f(v_1)=(1,1,1,0)$, quindi stai attento
"Cricco95":
$f(1,2)=1(1,0) +2(0,1) $
$ f(1,-1)=1(1,0) -1(0,1) $
$ f(3,-3)=3(1,0) -3(0,1) $
$ f(0,2)=0(1,0) +2(0,1) $
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