Determinare l'immagine del vettore
salve, ho un problema con questo esercizio:
sia F l'applicazione lineare $ RR^3rarr RR^2 $ :
F(0,2,-1)=(5,-5)
F(-1, 2, -1)=(4, -6)
F(2, -1, 0)=(1, 4)
determinare l'immagine del vettore F(-5, 8, -3)
so che dovrei proporre qualche soluzione ma non so davvero come muovermi
grazie in anticipo!
sia F l'applicazione lineare $ RR^3rarr RR^2 $ :
F(0,2,-1)=(5,-5)
F(-1, 2, -1)=(4, -6)
F(2, -1, 0)=(1, 4)
determinare l'immagine del vettore F(-5, 8, -3)
so che dovrei proporre qualche soluzione ma non so davvero come muovermi
grazie in anticipo!
Risposte
I 3 vettori del quale hai l'immagine formano una base di $RR^3$ (ti lascio la dimostrazione). Una volta che hai una base ${b_1, ... , b_n}$ di uno spazio e l'immagine di questa base attraverso un omomorfismo $f$, allora l'immagine di un qualsiasi vettore $v = \sum a_i b_i$ è data da $v' = \sum a_i f(b_i)$ (suppongo che questo l'abbiate visto). Per cui per trovare l'immagine del tuo vettore devi scrivere $(-5, 8, -3)$ come combinazione lineare della tua base e infine calcolare l'immagine come ti ho già mostrato.
Ti faccio un esempio. Supponiamo di avere $F : RR^3 -> RR^2$ data da
$F(1, 0, 0) = (2, 3)$
$F(0, -1, 0) = (-2, 0)$
$F(1, 1, -1) = (-4, 4)$
e vogliamo calcolare l'immagine di $(7, 3, 15)$. Scriviamo per prima cosa questo vettore nella base che abbiamo nella forma:
$(7, 3, 15) = 22(1, 0, 0) - 18(0, -1, 0) - 15(1, 1, -1)$
L'immagine del vettore sarà quindi
$F(7, 3, 15) = 22(2,3) - 18(-2,0) - 15(-4,4) = (140,6)$
Ti faccio un esempio. Supponiamo di avere $F : RR^3 -> RR^2$ data da
$F(1, 0, 0) = (2, 3)$
$F(0, -1, 0) = (-2, 0)$
$F(1, 1, -1) = (-4, 4)$
e vogliamo calcolare l'immagine di $(7, 3, 15)$. Scriviamo per prima cosa questo vettore nella base che abbiamo nella forma:
$(7, 3, 15) = 22(1, 0, 0) - 18(0, -1, 0) - 15(1, 1, -1)$
L'immagine del vettore sarà quindi
$F(7, 3, 15) = 22(2,3) - 18(-2,0) - 15(-4,4) = (140,6)$
non ho capito come ti trovi que 22,-18,-15
Nel piccolo esempio sono partito dalla terza coordinata che dipendeva esclusivamente dall'ultimo vettore della base e ho poi sommato gli altri due elementi della base per mettere a posto le restanti coordinate. Ma quella base era particolarmente semplice. Puoi cercare di arrivarci con ragionamenti simili oppure determinare la matrice di cambiamento di base e poi usare quella per determinare quei valori. Hai bisogno cioè di una matrice che mandi (0,2,-1) in (1,0,0), (-1,2,-1) in (0,1,0) e (2,-1,0) in (0,0,1). L'immagine di (-5,8,-3) saranno i coefficienti che devi trovare.
ok il ragionamento dell'esempio tuo credo di averlo afferrato:
$ {: ( 7 ),( 3 ),( 15 ) :} =22 ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) -18( ( 0 ),( -1 ),( 0 ) )-15( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) ) $
cioe,sulla terza riga deve uscire un 15 e avendo un -1 si moltiplica il terzo vettore (1,1,-1) per -15, quindi il vettore diventa (-15,-15,15)
sulla seconda riga bisgna far uscire un 3 e avendo il -15 del trzo vettore trovato prima, si deve moltiplicare il -1 del secondo vett per -18, cosi -15+18=3
per il terzo lo stesso, avendo -15 si moltiplica per 22 l'1 del primo vettore e si ottiene il sette cercato
ma questo era semplice perche c'era una riga con due zeri, nell'esercizio non ce mannaggia!
come faccio a trovarmi quei numeri?
$ {: ( 7 ),( 3 ),( 15 ) :} =22 ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) -18( ( 0 ),( -1 ),( 0 ) )-15( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) ) $
cioe,sulla terza riga deve uscire un 15 e avendo un -1 si moltiplica il terzo vettore (1,1,-1) per -15, quindi il vettore diventa (-15,-15,15)
sulla seconda riga bisgna far uscire un 3 e avendo il -15 del trzo vettore trovato prima, si deve moltiplicare il -1 del secondo vett per -18, cosi -15+18=3
per il terzo lo stesso, avendo -15 si moltiplica per 22 l'1 del primo vettore e si ottiene il sette cercato
ma questo era semplice perche c'era una riga con due zeri, nell'esercizio non ce mannaggia!
come faccio a trovarmi quei numeri?
mi serve una mano assolutamente, nessuno c'è?
Te l'avevo spiegato, anche se un po' frettolosamente, nell'altro post. Devi trovare un'applicazione lineare $A$, tale che
$A(0, 2, -1) = (1, 0, 0)$,
$A(-1, 2, -1) = (0, 1, 0)$,
$A(2, -1, 0) = (0, 0, 1)$.
Data questa mappa, se
$(-5, 8, -3) = a(0, 2, -1) + b(-1, 2, -1) + c(2, -1, 0)$
allora
$A(-5, 8, -3) = (a, b, c)$.
È più facile trovare l'inversa di $A$ (è la matrice le cui colonne sono le immagini della base canonica):
$A = ((0, -1, 2),(2, 2, -1),(-1, -1, 0))^{-1} = ((1,2,3),(-1,-2,-4),(0,-1,-2))$.
A questo punto hai tutti gli strumenti per finire l'esercizio.
$A(0, 2, -1) = (1, 0, 0)$,
$A(-1, 2, -1) = (0, 1, 0)$,
$A(2, -1, 0) = (0, 0, 1)$.
Data questa mappa, se
$(-5, 8, -3) = a(0, 2, -1) + b(-1, 2, -1) + c(2, -1, 0)$
allora
$A(-5, 8, -3) = (a, b, c)$.
È più facile trovare l'inversa di $A$ (è la matrice le cui colonne sono le immagini della base canonica):
$A = ((0, -1, 2),(2, 2, -1),(-1, -1, 0))^{-1} = ((1,2,3),(-1,-2,-4),(0,-1,-2))$.
A questo punto hai tutti gli strumenti per finire l'esercizio.
non so che dire, proprio non ci arrivo ...
Proviamo ad arrivarci con un po' di ragionamento allora. Prendiamo la prima coordinata del vettore. Per ottenere -5 nella prima componente, si deve necessariamente avere
$(1 - 2k)(-1, 2, -1) - (k + 2)(2, -1, 0) + s(0, 2, -1) = (-5, -3k + 2s + 4, 2k - s - 1)$.
A questo punto risolvi il sistema
$\{(-3k + 2s + 4 = 8), (2k - s - 1 = -3):}$
e trovi i coefficienti che ti servono. Dovrebbero essere $k = 0$ e $s = 2$ da cui si ottiene
$(-5, 8, -3) = 2(0, 2, -1) + (-1, 2, -1) - 2(2, -1, 0)$.
L'immagine sarà quindi infine
$F(-5, 8, -3) = 2(5, -5) + (4,-6) - 2(1,4) = (12, -24)$.
Ti suggerisco di ricontrollare i calcoli, ma credo sia corretto.
$(1 - 2k)(-1, 2, -1) - (k + 2)(2, -1, 0) + s(0, 2, -1) = (-5, -3k + 2s + 4, 2k - s - 1)$.
A questo punto risolvi il sistema
$\{(-3k + 2s + 4 = 8), (2k - s - 1 = -3):}$
e trovi i coefficienti che ti servono. Dovrebbero essere $k = 0$ e $s = 2$ da cui si ottiene
$(-5, 8, -3) = 2(0, 2, -1) + (-1, 2, -1) - 2(2, -1, 0)$.
L'immagine sarà quindi infine
$F(-5, 8, -3) = 2(5, -5) + (4,-6) - 2(1,4) = (12, -24)$.
Ti suggerisco di ricontrollare i calcoli, ma credo sia corretto.
ok! a mente fresca è tutto piu semplice!
$ ( ( -5 ),( 8 ),( -3 ) )=a( ( 0 ),( 2 ),( -1 ) )+b( ( -1 ),( 2 ),( -1 ) )+c( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $
da qui il sistema con incognite a,b,c e mi trovo a=2,b=1,c=-2
ora con la relazione che mi hai suggerito tu:
$ 2(5,-5)+1(4,-6)-2(1,4)=(12,-24) $
grazie sei stato molto paziente con me!
$ ( ( -5 ),( 8 ),( -3 ) )=a( ( 0 ),( 2 ),( -1 ) )+b( ( -1 ),( 2 ),( -1 ) )+c( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $
da qui il sistema con incognite a,b,c e mi trovo a=2,b=1,c=-2
ora con la relazione che mi hai suggerito tu:
$ 2(5,-5)+1(4,-6)-2(1,4)=(12,-24) $
grazie sei stato molto paziente con me!
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