Determinare l'equazione di un piano in RP3
Salve a tutti, sono Emanuele mi sono appena iscritto vi faccio i complimenti per questo ottimo sito e forum.
Vorrei chiedervi una cosa su l'esame di Geometria che dovrò affrontare la prossima settimana.
Dunque nello spazio affine A3, per determinare un piano bastano 3 punti non allineati, per esempio P1,P2,P3 e possiamo scrivere l'equazione parametrica $P = P1 + tP2 + uP3$
Nello spazio proiettivo RP3 invece, come si trova l'equazione del piano partendo sempre dai 3 punti non allineati giacenti su di esso?
Per esempio,
come trovo l'equazione di un piano proiettivo contenente $[1 : 0 : 1 : 1] , [0 : 0 : 0 : 1] , [1 : 0 : 0 : 0]$.
Da notare che non ho il tipo di immersione, quindi non posso disomogenizzare e lavorare nell'affine.
Mi scuso in anticipo se l'argomento può essere banale, non sono riuscito a venirne a capo.
Grazie
Vorrei chiedervi una cosa su l'esame di Geometria che dovrò affrontare la prossima settimana.
Dunque nello spazio affine A3, per determinare un piano bastano 3 punti non allineati, per esempio P1,P2,P3 e possiamo scrivere l'equazione parametrica $P = P1 + tP2 + uP3$
Nello spazio proiettivo RP3 invece, come si trova l'equazione del piano partendo sempre dai 3 punti non allineati giacenti su di esso?
Per esempio,
come trovo l'equazione di un piano proiettivo contenente $[1 : 0 : 1 : 1] , [0 : 0 : 0 : 1] , [1 : 0 : 0 : 0]$.
Da notare che non ho il tipo di immersione, quindi non posso disomogenizzare e lavorare nell'affine.
Mi scuso in anticipo se l'argomento può essere banale, non sono riuscito a venirne a capo.
Grazie
Risposte
"Baco_87":
come trovo l'equazione di un piano proiettivo contenente $[1 : 0 : 1 : 1] , [0 : 0 : 0 : 1] , [1 : 0 : 0 : 0]$.
Da notare che non ho il tipo di immersione, quindi non posso disomogenizzare e lavorare nell'affine.
E non ti converrebbe neanche, penso. Nello spazio proiettivo hai lo strumento della combinazione lineare di punti dove nello spazio affine avevi solo la combinazione convessa: direi infatti che, dati $n+1$ punti $P_0, ..., P_n$ e $n+1$ scalari $lambda_0,...lambda_n$ non tutti nulli, ha perfettamente senso parlare del punto $lambda_0P_0+...+lambda_nP_n$. [size=75]
Questo, in uno spazio affine, non si può fare a meno che la somma dei coefficienti non sia pari ad $1$, nel qual caso puoi parlare di combinazione convessa e questa è un'altra storia.[/size]
Questa combinazione lineare è definita nella maniera ovvia e mi pare anche che, detto $L(P_0,..., P_n)$ il sottospazio proiettivo generato da $P_0,...,P_n$, risulti che $L(P_0,..., P_n)={lambda_0P_0+...+lambda_nP_n\ |\ lambda_j\ "scalari non tutti nulli"}$.
Applichiamo tutto questo al tuo $L [1 : 0 : 1 : 1] , [0 : 0 : 0 : 1] , [1 : 0 : 0 : 0] $; si tratta dello spazio delle combinazioni lineari di tipo $lambda_1[1 : 0 : 1 : 1]+lambda_2 [0 : 0 : 0 : 1]+lambda_3[1 : 0 : 0 : 0]$. E' quindi facile determinarne equazioni cartesiane: basta prendere delle equazioni del sottospazio vettoriale di $RR^4$ generato da $(1 , 0 , 1 , 1) , (0 , 0 , 0 , 1) , (1 , 0 , 0 , 0)$ e considerarle come equazioni omogenee in $P^3(RR)$.
Innanzi tutto grazie mille per la risposta.
Quindi in pratica, mi stai dicendo che devo utilizzare 3 parametri anzichè 2?
Ovvero l'equazione parametrica risulterebbe:
$\{(x_{1} = \lambda_{1} + \lambda_{3}),(x_{2} = 0),(x_{3} = \lambda_{1}),(x_{4} = \lambda_{1} + \lambda_{2}):}$
e quindi l'eq. cartesiana del piano risulterebbe $x_{2} = 0$ ?
Scusami se posso aver scritto delle castronate, ma lunedi ho l'esame..sono un pò in crisi
Quindi in pratica, mi stai dicendo che devo utilizzare 3 parametri anzichè 2?
Ovvero l'equazione parametrica risulterebbe:
$\{(x_{1} = \lambda_{1} + \lambda_{3}),(x_{2} = 0),(x_{3} = \lambda_{1}),(x_{4} = \lambda_{1} + \lambda_{2}):}$
e quindi l'eq. cartesiana del piano risulterebbe $x_{2} = 0$ ?
Scusami se posso aver scritto delle castronate, ma lunedi ho l'esame..sono un pò in crisi
Tutto giusto. Non ti stupire del fatto che ci sia un parametro in più, è una cosa tipica delle coordinate omogenee. Pensa a un punto singolo: si tratta di un oggetto di dimensione $0$. Tuttavia le sue coordinate omogenee sono note a meno di un parametro. Analogamente, le equazioni parametriche di una retta (dimensione $1$) dipendono da $2$ parametri; e come vediamo in questo esercizio, le equazioni parametriche di un piano dipendono da $3$ parametri.
Ti ringrazio, il tuo aiuto è stato veramente prezioso 
un altro metodo equivalente è questo:
in $ RRP^3 $ un piano è generato da tre suoi punti non tutti allineati, quindi
$|(1,0,1,1),(0,0,0,1),(1,0,0,0),(x_1,x_2,x_3,x_4)| = 0 $
- cioè ogni punto $ [x_1, x_2. x_3, x_4 ] $ del piano è combinazione lineare dei punti $ [1, 0, 1, 1,], [0, 0, 0, 1], [1, 0, 0, 0] $
ti sviluppi il determinante e trovi $ x_2 = 0 $
in $ RRP^3 $ un piano è generato da tre suoi punti non tutti allineati, quindi
$|(1,0,1,1),(0,0,0,1),(1,0,0,0),(x_1,x_2,x_3,x_4)| = 0 $
- cioè ogni punto $ [x_1, x_2. x_3, x_4 ] $ del piano è combinazione lineare dei punti $ [1, 0, 1, 1,], [0, 0, 0, 1], [1, 0, 0, 0] $
ti sviluppi il determinante e trovi $ x_2 = 0 $
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