Determinare le equazioni della circonferenza nello spazio
Non riesco proprio a capire come risolvere il terzo punto dell'esercizio :
Date le rette :
$ r:{ ( x+y-1=0 ),( 3x-z-2=0 ):} $
$ s:{ ( x-y-1=0 ),( y-z+2=0 ):} $
1)Verificare che le rette siano sghembe
2)Trovare la retta di minima distanza tra r e s
3)Trovare le equazioni della circonferenza tangente ad r nel punto P(2,-1,4) e passante per Q(0,0,1)
Mi servirebbero una sfera e un piano per trovare la circonferenza, ma non so quali considerare..
Date le rette :
$ r:{ ( x+y-1=0 ),( 3x-z-2=0 ):} $
$ s:{ ( x-y-1=0 ),( y-z+2=0 ):} $
1)Verificare che le rette siano sghembe
2)Trovare la retta di minima distanza tra r e s
3)Trovare le equazioni della circonferenza tangente ad r nel punto P(2,-1,4) e passante per Q(0,0,1)
Mi servirebbero una sfera e un piano per trovare la circonferenza, ma non so quali considerare..
Risposte
Se $d$ è la distanza tra il punto $(0,0,1)$ e la retta $r$,allora la sfera è $x^2+y^2+(z-1)^2=d^2$. Dopodiché basta trovare il piano che contiene la retta $r$ e il punto $(0,0,1)$ 
Grazie della risposta billy, ma non credo di stare capendo molto bene
Se considero Q come il centro della sfera, quando vado a trovare il piano che contiene r e Q, Q non sarà anche il centro della circonferenza?
Se considero Q come il centro della sfera, quando vado a trovare il piano che contiene r e Q, Q non sarà anche il centro della circonferenza?
Esatto, come ti chiede l'esercizio...
Scusa! Ho appena riletto l'esercizio e avevo capito male 
Pensavo che $Q$ dovesse essere il centro della circonferenza e non un punto di essa.
Però se deve essere solo un punto della circonferenza, allora non ne esiste solo una!
Pensavo che $Q$ dovesse essere il centro della circonferenza e non un punto di essa.Però se deve essere solo un punto della circonferenza, allora non ne esiste solo una!
Infatti l'esercizio chiedeva "le equazioni" e sono andato nel pallone perchè non mi veniva nessun metodo in mente..
Ci ho riflettuto un po e l'ho pensato così
Trovo il punto medio di PQ che sarà il centro di una sfera,con la distanza MP raggio
Poi trovo il piano per P,Q,M
però non so se la circonferenza risulti tangente alla retta r
Ci ho riflettuto un po e l'ho pensato così
Trovo il punto medio di PQ che sarà il centro di una sfera,con la distanza MP raggio
Poi trovo il piano per P,Q,M
però non so se la circonferenza risulti tangente alla retta r
Scusami ma avevo capito ancora male.
L'equazione del piano che contiene $Q$ e la retta si trova facilmente.
Per quanto riguarda la sfera, a te servono le coordinate del centro $(x_0,y_0,z_0)$ e il raggio $R$, così da ottenere l'equazione $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$. Dunque abbiamo quattro incognite: ricaviamo due equazioni imponendo il passaggio dei punti $P$ e $Q$ nella sfera, una terza equazione imponendo la tangenza della retta alla sfera (chiedendo cioè che la distanza tra il centro della sfera $(x_0,y_0,z_0)$ e la retta $r$ sia esattamente $R$), e infine una quarta equazione richiedendo che il centro della sfera stia sulla retta perpendicolare a $r$ e contenuta nel piano che contiene $r$ e $Q$. Quindi la circonferenza è unica.
L'equazione del piano che contiene $Q$ e la retta si trova facilmente.
Per quanto riguarda la sfera, a te servono le coordinate del centro $(x_0,y_0,z_0)$ e il raggio $R$, così da ottenere l'equazione $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$. Dunque abbiamo quattro incognite: ricaviamo due equazioni imponendo il passaggio dei punti $P$ e $Q$ nella sfera, una terza equazione imponendo la tangenza della retta alla sfera (chiedendo cioè che la distanza tra il centro della sfera $(x_0,y_0,z_0)$ e la retta $r$ sia esattamente $R$), e infine una quarta equazione richiedendo che il centro della sfera stia sulla retta perpendicolare a $r$ e contenuta nel piano che contiene $r$ e $Q$. Quindi la circonferenza è unica.
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