Determinare la matrice diagonalizzabile
Riciao a tutti! Mi serve un confronto su questo esercizio:
Determinare una matrice A a coefficienti reali che abbia $(x+1)(x-2)^2$ come polinomio caratteristico, e tale che $A*V=V$ e $V={(x,y,z) in RR^3 : 2x-z=y}$.
Ho pensato di risolverlo utilizzando l'equazione $A=PDP^(-1)$, dove P rappresenta la matrice degli autovettori e D la matrice degli autovalori.
Gli autovalori si determinano facilmente dal polinomio caratteristico, quindi $D=((-1,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$.
V l'ho pensato come l'autospazio che rappresenta la retta di equazione $y=2x-z$, da cui ho ricavato due autovettori:
$ ( ( x ),( 2x-z ),( z ) ) = x((1),(2),(0))+z((0),(-1),(1)) $
ho cercato un terzo vettore linearmente indipendente da (1,2,0) e (0,-1,1), come (1,0,0), e quindi alla fine ho trovato la matrice degli autovettori $P=((1,0,1),(2,-1,0),(0,1,0))$.
E' corretto fino adesso?
Determinare una matrice A a coefficienti reali che abbia $(x+1)(x-2)^2$ come polinomio caratteristico, e tale che $A*V=V$ e $V={(x,y,z) in RR^3 : 2x-z=y}$.
Ho pensato di risolverlo utilizzando l'equazione $A=PDP^(-1)$, dove P rappresenta la matrice degli autovettori e D la matrice degli autovalori.
Gli autovalori si determinano facilmente dal polinomio caratteristico, quindi $D=((-1,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$.
V l'ho pensato come l'autospazio che rappresenta la retta di equazione $y=2x-z$, da cui ho ricavato due autovettori:
$ ( ( x ),( 2x-z ),( z ) ) = x((1),(2),(0))+z((0),(-1),(1)) $
ho cercato un terzo vettore linearmente indipendente da (1,2,0) e (0,-1,1), come (1,0,0), e quindi alla fine ho trovato la matrice degli autovettori $P=((1,0,1),(2,-1,0),(0,1,0))$.
E' corretto fino adesso?
Risposte
Per saper se è tutto giusto occorrono dei calcoli.
Intanto risulta :
$A= ((2,-3/2,-3/2),(0,-1,-3),(0,0,2)) $
Gli autovalori di A sono $-1,2,2$ che coincidono con quelli dati. Pertanto dal punto di vista degli autovalori ci siamo.
Adesso occorre verificare che $A\cdot V=V$, ovvero che V viene trasformato in sé da A. Prendendo come base di V i vettori da te già trovati : $v_1=((1),(2),(0))$ e $v_2=((0),(-1),(1))$, si ha che il generico vettore v di V è :
$v=uv_1+wv_2= ((u),(2u-w),(w)) $.
Il trasformato v' di v mediante A è :
$v'=((2,-3/2,-3/2),(0,-1,-3),(0,0,2))\cdot ((u),(2u-w),(w)) =((-u),(-2u-2w),(2w))$
Si tratta ora di vedere se v' soddisfa l'equazione $2x-y-z=0$. E in effetti è $2(-u)-(-2u-2w)-(2w)=0$
In conclusione direi che hai fatto bene. Salvo errori da parte mia.
Intanto risulta :
$A= ((2,-3/2,-3/2),(0,-1,-3),(0,0,2)) $
Gli autovalori di A sono $-1,2,2$ che coincidono con quelli dati. Pertanto dal punto di vista degli autovalori ci siamo.
Adesso occorre verificare che $A\cdot V=V$, ovvero che V viene trasformato in sé da A. Prendendo come base di V i vettori da te già trovati : $v_1=((1),(2),(0))$ e $v_2=((0),(-1),(1))$, si ha che il generico vettore v di V è :
$v=uv_1+wv_2= ((u),(2u-w),(w)) $.
Il trasformato v' di v mediante A è :
$v'=((2,-3/2,-3/2),(0,-1,-3),(0,0,2))\cdot ((u),(2u-w),(w)) =((-u),(-2u-2w),(2w))$
Si tratta ora di vedere se v' soddisfa l'equazione $2x-y-z=0$. E in effetti è $2(-u)-(-2u-2w)-(2w)=0$
In conclusione direi che hai fatto bene. Salvo errori da parte mia.
Ora ho capito! Il mio dubbio era se avevo interpretato giusto il significato di $AV=V$, dato che non era esplicitato che V era l'autospazio non ero certa di aver agito correttamente. Più che altro il fatto che l'equazione mi dava solo 2 autovettori mi aveva un po' spiazzato, sapevo che me ne servivano 3, e dato che è la prima volta che mi trovo in un caso del genere non sapevo se scegliere io un terzo vettore "a caso" fosse la soluzione giusta.
Poi dalla tua risposta ho notato che la matrice A mi usciva leggermente diversa, e in effetti avevo sbagliato un calcolo... e per quello quando provavo a verificare se $AV=V$ i risultati non tornavano, ora invece sì
Io però la verifica l'ho fatta così:
$((2,-3/2,-3/2),(0,-1,-3),(0,0,2))((1),(2),(0)) = ((-1),(-2),(0))$, ovvero $Av_1=-(v_1)$
$((2,-3/2,-3/2),(0,-1,-3),(0,0,2))((0),(-1),(1)) = ((0),(-2),(2))$, ovvero $Av_2=2(v_2)$
Sembra aver senso, però aspetto comunque una conferma per sicurezza.
Comunque grazie per la risposta chiarissima
Poi dalla tua risposta ho notato che la matrice A mi usciva leggermente diversa, e in effetti avevo sbagliato un calcolo... e per quello quando provavo a verificare se $AV=V$ i risultati non tornavano, ora invece sì
Io però la verifica l'ho fatta così:$((2,-3/2,-3/2),(0,-1,-3),(0,0,2))((1),(2),(0)) = ((-1),(-2),(0))$, ovvero $Av_1=-(v_1)$
$((2,-3/2,-3/2),(0,-1,-3),(0,0,2))((0),(-1),(1)) = ((0),(-2),(2))$, ovvero $Av_2=2(v_2)$
Sembra aver senso, però aspetto comunque una conferma per sicurezza.
Comunque grazie per la risposta chiarissima
La verifica l'ho fatta in quel modo per rispettare la consegna che richiedeva fosse $A\cdot V=V$. La verifica con gli autovalori è equivalente e va bene egualmente. Aggiungo che anche a me inizialmente sembrava azzardata la scelta arbitraria del terzo autovettore, tant'è vero che, per altra via, avevo trovato un terzo autovettore diverso dal tuo ma ho poi verificato che entrambi andavano bene. Del resto la consegna non dice di trovare "la matrice " ma "una matrice " e ciò secondo me sottintende che le soluzioni del quesito non sono una sola.
Allora speriamo sia giusto così Per curiosità, mi potresti dire in che modo hai trovato il terzo vettore?
Per curiosità, mi potresti dire in che modo hai trovato il terzo vettore?
Ho indicato il terzo autovettore in maniera generica e poi ho imposto le condizioni del quesito. Ma risultano calcoli pesanti...Meglio come hai fatto tu.
Ah ok. Grazie mille per l'aiuto!!
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