Determinare la matrice A avendo autovalori e autovettori

[sureglia88]

come da titolo:
Si determini la matrice A \(\displaystyle \in \) M(Q) avente autovalori \(\displaystyle \leftthreetimes \)=3 e \(\displaystyle \leftthreetimes \)=4 e i relativi autovettori v1=(3,-1) e v2=(2,2)
mi spiegate un pò come risolverlo??? non ho mai visto l'esercizio in questo modo di solito si fa il contrario ovvero data la matrice procedi.... grazie mille

[gugo82]

Potresti usare la definizione di autovettore.

Detti \(a,b,c,d\) le entrate incognite della matrice, le informazioni che ti dà la traccia equivalgono a dire che:
\[
\begin{split}
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} 3 \\ -1\end{pmatrix} &= 3\ \begin{pmatrix} 3 \\ -1\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix} &= 4\ \begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix}
\end{split}
\]
e queste due uguaglianze, scritte in forma scalare, diventano quattro equazioni lineri in quattro incognite.

Prova a vedere cosa ne viene fuori.

[21zuclo]

scusate se mi intrometto..provo a risolverlo pure io.. visto che devo ridare l'esame di algebra lineare e geometria a settembre

seguendo il consiglio di gugo82, ottengo questo sistema lineare

[tex]A|b=\left(\begin{array}{cccc|c}
3 &-1& 0& 0&9\\
0 & 0 & 3 & -1 &-3 \\
2 & 2 & 0 & 0&8 \\
0& 0 & 2 & 2&8
\end{array}
\right)[/tex]

a questo punto devo risolvere il sistema lineare, o con Gauss, oppure con altri metodi esatto?

[sureglia88]

come cancello il mess?

[sureglia88]

seguendo i consigli di gugo e ringraziando entrambi vorrei dire che ho risolto in questo modo:
A*v=lambda*v
faccio il sistema per il primo e ho:
3x-y=9 3z-w=-3
faccio il sistema per il secondo e ho:
{2x+2y=-2 {2z+2w=-2
poi interseco i due sistemi e trovo le 4 incognite
ovvero x=1/2 y=-3/2 z=-1 w=0
ringrazio entrambi scusate per il modo di scrivere le formule

[21zuclo]

per come si scrivono le formule, basta che leggi qui (clicca)

Attenzione hai coefficienti del secondo sistema hai $4((2),(2))=((8),(8))$

per cui hai
e $ { ( 2a+2b=8 ),( 2c+2d=8 ):} $
non uguali a -2

dovresti aver trovato una matrice di questo tipo

$ ( ( 13/4 , 3/4 ),( 1/4 , 15/4 ) ) $