Determinare la dimensione ed una base del seguente spazio vettoriale
Ciao a tutti,ho riscontrato un problema con questo esercizio :
Determinare la dimensione ed una base del seguente spazio vettoriale U=L((1,0,1),(2,1,1),(-6,-2,-4)).
Ho scritto la matrice associata $ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1 ),( -6 , -2 , -4 ) ) $ il cui determinante calcolato con il metodo dei minori è !=0 quindi mi trovo che il rango è 2.
Ora dalla formula Dim(U)=n(numero di colonne)-rk(U)(rango della matrice)=3-2=1 ma il risultato dell'esercizio mi dice che è 2.
Dove ho sbagliato? Grazie !
Determinare la dimensione ed una base del seguente spazio vettoriale U=L((1,0,1),(2,1,1),(-6,-2,-4)).
Ho scritto la matrice associata $ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 1 ),( -6 , -2 , -4 ) ) $ il cui determinante calcolato con il metodo dei minori è !=0 quindi mi trovo che il rango è 2.
Ora dalla formula Dim(U)=n(numero di colonne)-rk(U)(rango della matrice)=3-2=1 ma il risultato dell'esercizio mi dice che è 2.
Dove ho sbagliato? Grazie !
Risposte
La relazione: $(\text{numero colonne/incognite})-rango=(\text{numero incognite libere})$, equivalentemente, così facendo, trovi l'infinità delle soluzioni.
La dimensione $U$ corrisponde al numero di vettori l.i.
Il rango di una matrice equivale al numero di colonne/righe l.i.
Quindi $dim(U)=2$
Invece $U=mathcal (L)={((1),(0),(1)),((2),(1),(1)),((-6),(-2),(-4))}$
La dimensione $U$ corrisponde al numero di vettori l.i.
Il rango di una matrice equivale al numero di colonne/righe l.i.
Quindi $dim(U)=2$
Non ho capito cosa si intende precisamente per "numero di colonne libere"?
non devono essere presenti 0?
In ogni caso ho anche sbagliato a scrivere la matrice ?
non devono essere presenti 0?
In ogni caso ho anche sbagliato a scrivere la matrice ?
"christian95":
Non ho capito cosa si intende precisamente per "numero di colonne libere"?
"Magma":
numero incognite libere
È in riferimento alla risoluzione dei sistemi lineari: rango=numero pivot=numero incognite dominanti
"christian95":
?
non devono essere presenti 0?
Non ti seguo!
"christian95":
In ogni caso ho anche sbagliato a scrivere la matrice ?
Per questo tipo di calcolo va bene la matrice
ok,quindi in riferimento a questo esercizio quali sarebbero le n numero di incognite libere?
quindi dovrebbe essere n-(rango=2)=2 --->n=4 ma non ho capito da dove esce ahaha.
quindi dovrebbe essere n-(rango=2)=2 --->n=4 ma non ho capito da dove esce ahaha.
Aspetta... con quel excursus ho creato solo più confusione.
Fai finta che non abbia scritto niente!
Lo spazio vettoriale $U$ è dato come spazio generato da questo insieme di vettori ${v=((1),(0),(1)),w=((2),(1),(1)),z=((-6),(-2),(-4))} $.
Questi vettori sono perciò dei generatori: cioè generano lo spazio vettoriale.
Però non sai se costituiscono una base (e pertanto non puoi sapere nemmeno la dimensione di $U$), però lo puoi scoprire verificando la loro dipendenza/indipendenza lineare.
Un modo più computazionale consiste nel porre una combinazione lineare:
$a* v+b*w+c*z=0$ nelle incognite $a, b, c in RR$.
ovviamente questi vettori saranno linearmente indipendenti $hArr$ $a=b=c=o$, altrimenti si diranno l.d.
In questo caso però $v, w, z$ sono l.d. e quindi puoi scrivere uno dei tre (per esempio $z$) come C.L. degli altri due rimanenti ($v, w$); allora $z$ puoi essere eliso dal sistema di generatori (senza alterarlo).
Ora tocca verificare se $v, w$ sono l.i. o meno, però, siccome sono due e non proporzionali, allora $v, w$ sono l.i..
Quindi una possibile base di $U$ potrebbe essere ${v, w}$ e pertanto la dimensione di $U$ è $2$.
Un altro modo consiste nel porre i tre vettori in riga/colonna e calcolarne il rango: infatti il rango indica il numero di righe/colonne l.i., e siccome il rango è $2$ allora avrai $2$ vettori l.i. cioè la dimensione di $U$ è due.
Fai finta che non abbia scritto niente!
La dimensione è definita come il numero di vettori presenti in una base:
costituita da un insieme di generatori che sono l.i.
costituita da un insieme di generatori che sono l.i.
Lo spazio vettoriale $U$ è dato come spazio generato da questo insieme di vettori ${v=((1),(0),(1)),w=((2),(1),(1)),z=((-6),(-2),(-4))} $.
Questi vettori sono perciò dei generatori: cioè generano lo spazio vettoriale.
Però non sai se costituiscono una base (e pertanto non puoi sapere nemmeno la dimensione di $U$), però lo puoi scoprire verificando la loro dipendenza/indipendenza lineare.
Un modo più computazionale consiste nel porre una combinazione lineare:
$a* v+b*w+c*z=0$ nelle incognite $a, b, c in RR$.
ovviamente questi vettori saranno linearmente indipendenti $hArr$ $a=b=c=o$, altrimenti si diranno l.d.
In questo caso però $v, w, z$ sono l.d. e quindi puoi scrivere uno dei tre (per esempio $z$) come C.L. degli altri due rimanenti ($v, w$); allora $z$ puoi essere eliso dal sistema di generatori (senza alterarlo).
Ora tocca verificare se $v, w$ sono l.i. o meno, però, siccome sono due e non proporzionali, allora $v, w$ sono l.i..
Quindi una possibile base di $U$ potrebbe essere ${v, w}$ e pertanto la dimensione di $U$ è $2$.
Un altro modo consiste nel porre i tre vettori in riga/colonna e calcolarne il rango: infatti il rango indica il numero di righe/colonne l.i., e siccome il rango è $2$ allora avrai $2$ vettori l.i. cioè la dimensione di $U$ è due.
mmm in realtà ho capito quello che dici ma la formula della Dimensione = Dim(V)=n-rango
ti faccio un esempio che ho letto.
Determinare una base dello spazione delle soluzioni e la sua dimensione.
$ { ( 2x+y=0 ),( 8x+z=0 ),( 4x-2y+z=0 ):} $
Scrivendo la matrice associata
$ ( ( 2 , 1 , 0 ),( 8 , 0 , 1 ),( 4 , -2 , 1 ) ) $
IL SISTEMA è DEFINITO DA n=3,per cui la dimensione dello spazio è n-rk(A)=3-2=1
Io ho capito che quel n si riferisce al numero delle colonne,però non mi trovo per l'esercizio precedente.
ti faccio un esempio che ho letto.
Determinare una base dello spazione delle soluzioni e la sua dimensione.
$ { ( 2x+y=0 ),( 8x+z=0 ),( 4x-2y+z=0 ):} $
Scrivendo la matrice associata
$ ( ( 2 , 1 , 0 ),( 8 , 0 , 1 ),( 4 , -2 , 1 ) ) $
IL SISTEMA è DEFINITO DA n=3,per cui la dimensione dello spazio è n-rk(A)=3-2=1
Io ho capito che quel n si riferisce al numero delle colonne,però non mi trovo per l'esercizio precedente.
Non ti torna perché sono due spazi definiti in modi diversi!
$U$ è definito tramite i suoi generatori:$ U=mathcal (L){((1),(0),(1)),((2),(1),(1)),((-6),(-2),(-4))} $
mentre l'altro sottospazio, chiamiamolo $Z$, è definito tramite un sistema lineare omogeneo di tre equazioni e tre incognite:
$Z={((x), (y), (z)) in RR^3 : 2x+y=8x+z=4x-2y+z=0 }$
il che significa che $Z$ l'insieme di tutti i spazi che soddisfano le tre equazioni contemporaneamente, cioè $Z$ è generato dai vettori che sono soluzione del sistema: $x((-1/8), (1/4),(1))$; $Z=mathcal (L)((-1), (2),(8))$, che ne costituisce una base e quindi la dimensione è pari a $1$.
Questa formula $n-rk(A)=3-2=1$ [nota]$n$ indica il numero di incognite totale (equivalentemente il numero di colonne), a cui sottrai il rango (=al numero di incognite indipendenti) e trovi il numero di incognite libere; cioè, in questo caso pari a uno.[/nota] non puoi usarla per tutti i sottospazi, solo per quelli definiti da un sistema lineare omogeneo.
$U$ è definito tramite i suoi generatori:$ U=mathcal (L){((1),(0),(1)),((2),(1),(1)),((-6),(-2),(-4))} $
mentre l'altro sottospazio, chiamiamolo $Z$, è definito tramite un sistema lineare omogeneo di tre equazioni e tre incognite:
$Z={((x), (y), (z)) in RR^3 : 2x+y=8x+z=4x-2y+z=0 }$
il che significa che $Z$ l'insieme di tutti i spazi che soddisfano le tre equazioni contemporaneamente, cioè $Z$ è generato dai vettori che sono soluzione del sistema: $x((-1/8), (1/4),(1))$; $Z=mathcal (L)((-1), (2),(8))$, che ne costituisce una base e quindi la dimensione è pari a $1$.
Questa formula $n-rk(A)=3-2=1$ [nota]$n$ indica il numero di incognite totale (equivalentemente il numero di colonne), a cui sottrai il rango (=al numero di incognite indipendenti) e trovi il numero di incognite libere; cioè, in questo caso pari a uno.[/nota] non puoi usarla per tutti i sottospazi, solo per quelli definiti da un sistema lineare omogeneo.
Perfetto! grazie mille,quindi nel caso in cui ho uno spazio definito tramite i suoi generatori il rango coincide con la dimensione?
Diciamo di sì.
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