Determinare Imf nota la matrice associata
Ciao a tutti! ho provato a risolvere il seguente esercizio ma ho dei dubbi sul procedimento, e vorrei delle delucidazioni... 
Sia f l'applicazione lineare di $RR3$ che, rispetto alla base canonica, è associata la matrice:
A=$((2,1,-1),(1,2,1),(-1,1,h))$ con h $in$ $RR$,
trovato il valore di h per cui f non è suriettiva:
i)determinare Imf
Per trovare h ho calcolato il determinante, e poi lo posto uguale a zero. E h deve essere uguale a 2 affinchè non sia suriettiva poichè f è suriettiva se $DimImf$=$Dim Codom.$, quindi deve essere $DimImf<3$.
Per determinare $Imf$ io prenderei tutte le colonne della matrice, quindi:
$Imf={(2,1,-1),(1,2,1),(-1,1,2)}$ ma nelle soluzioni dell'esercizio vengono prese solo gli ultimi due vettori perchè?
Sia f l'applicazione lineare di $RR3$ che, rispetto alla base canonica, è associata la matrice:
A=$((2,1,-1),(1,2,1),(-1,1,h))$ con h $in$ $RR$,
trovato il valore di h per cui f non è suriettiva:
i)determinare Imf
Per trovare h ho calcolato il determinante, e poi lo posto uguale a zero. E h deve essere uguale a 2 affinchè non sia suriettiva poichè f è suriettiva se $DimImf$=$Dim Codom.$, quindi deve essere $DimImf<3$.
Per determinare $Imf$ io prenderei tutte le colonne della matrice, quindi:
$Imf={(2,1,-1),(1,2,1),(-1,1,2)}$ ma nelle soluzioni dell'esercizio vengono prese solo gli ultimi due vettori perchè?
Risposte
Bhè scusa, per \(\displaystyle h=2 \) (non ho fatto i conti) \(\displaystyle \mbox{det A}=0 \), quindi \(\displaystyle \mbox{dim im A}=2 \), il che significa che l'immagine è generata da solo due vettori. Perché dovresti volerne prendere 3?
Ah ok, quindi la dimensione non mi dice solo da quanti vettori è fatta la base di $Imf$ ma anche da quanti la compongono? E in base a quale criterio scelgo i due vettori?
"Slon":
[...] non mi dice solo da quanti vettori è fatta la base di $Imf$ ma anche da quanti la compongono?
??
Ciao Seneca! A quanto pare mi sono espresso male...
Siccome è un argomento nuovo per me ho ancora le idee confuse, e mi esprimo di conseguenza male. Dalla spiegazione del mio professore avevo capito che $Imf$ era dato dalle colonne della matrice associata mentre la $DimImf$ si riferiva al numero di vettori che devono comporre una base di $Imf$. In questo caso non è chiesto di trovare una base, quindi volevo solo sapere se ho capito male come probabilmente è...
Siccome è un argomento nuovo per me ho ancora le idee confuse, e mi esprimo di conseguenza male. Dalla spiegazione del mio professore avevo capito che $Imf$ era dato dalle colonne della matrice associata mentre la $DimImf$ si riferiva al numero di vettori che devono comporre una base di $Imf$. In questo caso non è chiesto di trovare una base, quindi volevo solo sapere se ho capito male come probabilmente è...
Ciao Slon. Va bene...
Devi capire cosa succede all'immagine di un generico vettore $x$ del dominio, cioè $A x$.
Nel caso di una matrice $2 \times 2$:
$((a_(11) , a_(12)), (a_(21) , a_(22))) ((x_1),(x_2)) = ((a_(11) x_1 + a_(12) x_2),(a_(21) x_1 + a_(22) x_2)) = x_1 ((a_(11)),(a_(21))) + x_2 ((a_(12)),(a_(22) ))$
$A x$ si può scrivere come una combinazione lineare dei vettori colonna della matrice $A$ e $"Im"(f)$ è ottenuta facendo variare $x_1$ e $x_2$ nel campo $K$.
Ora è evidente che, se $((a_(11)),(a_(21))) , ((a_(12)),(a_(22) ))$ sono linearmente indipendenti, $"dim"(f) = 2$ mentre se, al contrario, sono linearmente dipendenti, hai che $"dim"(f) \le 2$. Quindi non è detto che i vettori colonna formino una base di $"Im"(f)$, tuttavia puoi dire che ne contengono una.
Questo esempio dovrebbe chiarirti le idee.
Devi capire cosa succede all'immagine di un generico vettore $x$ del dominio, cioè $A x$.
Nel caso di una matrice $2 \times 2$:
$((a_(11) , a_(12)), (a_(21) , a_(22))) ((x_1),(x_2)) = ((a_(11) x_1 + a_(12) x_2),(a_(21) x_1 + a_(22) x_2)) = x_1 ((a_(11)),(a_(21))) + x_2 ((a_(12)),(a_(22) ))$
$A x$ si può scrivere come una combinazione lineare dei vettori colonna della matrice $A$ e $"Im"(f)$ è ottenuta facendo variare $x_1$ e $x_2$ nel campo $K$.
Ora è evidente che, se $((a_(11)),(a_(21))) , ((a_(12)),(a_(22) ))$ sono linearmente indipendenti, $"dim"(f) = 2$ mentre se, al contrario, sono linearmente dipendenti, hai che $"dim"(f) \le 2$. Quindi non è detto che i vettori colonna formino una base di $"Im"(f)$, tuttavia puoi dire che ne contengono una.
Questo esempio dovrebbe chiarirti le idee.
Era più semplice di quanto credessi 
Quindi i vettori che trovo saranno i generatori ma non è detto che siano L.I. e quindi che formino una base di $Im(f)$. In altre parole $dimImf$ non coincide sempre con la dimensione della base di Imf...
Seneca questo è quello che mi è parso di capire... Ringrazio sia te che Delirium per le risposte che mi avete dato!
Quindi i vettori che trovo saranno i generatori ma non è detto che siano L.I. e quindi che formino una base di $Im(f)$. In altre parole $dimImf$ non coincide sempre con la dimensione della base di Imf...
Seneca questo è quello che mi è parso di capire... Ringrazio sia te che Delirium per le risposte che mi avete dato!
"Slon":
Era più semplice di quanto credessi
Quindi i vettori che trovo saranno i generatori ma non è detto che siano L.I. e quindi che formino una base di $Im(f)$.
Giusto.
"Slon":
In altre parole $dimImf$ non coincide sempre con la dimensione della base di Imf...
Eh, no; qui sbagli. Che cos'è la "dimensione di una base"?
Dovresti dire: "In altre parole $"dim"( "Im"(f) ) \le n$ dove $n$ è il numero di colonne della matrice associata ad $f$ (ed è $ = n$ se le colonne che formano la matrice sono vettori linearmente indipendenti).
Ah... ma certo, è ovvio! Visto che la dimensione dipende dal rango della matrice sarà max e quindi pari ad n se e soltanto se le colonne sono vettori L.I.
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