Determinare il parametro per cui l'iperbole è equilatera!
'Giorno! Ho un problema con un esercizio riguardo l'iperbole!
Determinare i valori del parametro reale t per i quali la conica $2x^2 + 2xy + ty^2+1=0$ è un iperbole equilatera.
Io so che un iperbole equilatera ha un equazione del tipo $x^2 - y^2 = a^2$, quindi ho provato a ricondurmi a quella forma con il metodo degli invariati.. ma a un certo punto mi blocco.. quindi non riesco a capire se sbaglio qualcosa strada facendo o se è proprio il metodo ad essere sbagliato!
Ho provato anche ad usare l'equazione per trovare gli asintoti, ovvero $a_11l^2+2a_12lm+a_22m^2$, ho assegnato ad m il valore 1 e sono partito dal presupposto che perchè due rette sono perpendicolari se il prodotto scalare dei parametri direttori è 0 (quindi se sono "scambiati" e uno ha il verso opposto), quindi se trovo il valori dei t per cui $l=+-1$ l'esercizio è risolto.
Anche questa volta non riesco a finire, arrivo ad ottenere:
$-1 +- sqrt (1-2t) = +-2$
E perchè sia vero $sqrt (1-2t)$ deve essere una volta $-1$ e una volta $+3$, cosa che mi pare abbastanza impossibile dato che deve essere un solo valore!
Inoltre ho un esercizio molto molto simile!
Assegnata nel piano uclideo l'iperbole $x^2 + txy - 2y^2 + 4x + 1=0$ determinare i valori di t per i quali uno degli asintoti è parallelo alla retta $x-y=0$
Determinare i valori del parametro reale t per i quali la conica $2x^2 + 2xy + ty^2+1=0$ è un iperbole equilatera.
Io so che un iperbole equilatera ha un equazione del tipo $x^2 - y^2 = a^2$, quindi ho provato a ricondurmi a quella forma con il metodo degli invariati.. ma a un certo punto mi blocco.. quindi non riesco a capire se sbaglio qualcosa strada facendo o se è proprio il metodo ad essere sbagliato!
Ho provato anche ad usare l'equazione per trovare gli asintoti, ovvero $a_11l^2+2a_12lm+a_22m^2$, ho assegnato ad m il valore 1 e sono partito dal presupposto che perchè due rette sono perpendicolari se il prodotto scalare dei parametri direttori è 0 (quindi se sono "scambiati" e uno ha il verso opposto), quindi se trovo il valori dei t per cui $l=+-1$ l'esercizio è risolto.
Anche questa volta non riesco a finire, arrivo ad ottenere:
$-1 +- sqrt (1-2t) = +-2$
E perchè sia vero $sqrt (1-2t)$ deve essere una volta $-1$ e una volta $+3$, cosa che mi pare abbastanza impossibile dato che deve essere un solo valore!
Inoltre ho un esercizio molto molto simile!
Assegnata nel piano uclideo l'iperbole $x^2 + txy - 2y^2 + 4x + 1=0$ determinare i valori di t per i quali uno degli asintoti è parallelo alla retta $x-y=0$
Risposte
Completando i quadrati la puoi riscrivere come [tex](1/2-t)y^2-2(x+y/2)^2 = 1[/tex], e da qui penso che riesci facilmente a imporre che gli asintoti siano ortogonali.
Mi devi scusare ma sinceramente non riesco a capire come sei arrivato a scriverla in quella maniera..
Il procedimento è questo:
[tex]2x^2+2xy+ty^2+1 = 2(x^2+xy+y^2/4)-y^2/2+ty^2+1 = 2(x+y/2)^2-(1/2-t)y^2+1[/tex].
Ti segnalo questo (clic! Ti consiglio caldamente di leggerlo!).
[tex]2x^2+2xy+ty^2+1 = 2(x^2+xy+y^2/4)-y^2/2+ty^2+1 = 2(x+y/2)^2-(1/2-t)y^2+1[/tex].
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Ti ringrazio per la risposta! Sinceramente il mio completamento di quadrato si fermava ad "aggiungi e sottrai 1", quindi quel post mi è stato molto d'aiuto... anche se ho mandato una mail al professore e mi ha fatto capire dove sbagliavo!
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